【数学】组合与排列

【数学】组合与排列

组合

定义

• 组合

  从具有 n 个不同的元素的序列中，无关顺序的任取 m（m≤n）个元素即为一个组合。

  具有相同元素但元素顺序不同的组合也是同一种组合。

• 组合数

  所有上述的组合，在序列中可取出的总数，被称作组合数，记作：
  \(C_n^m\)（国内通用）或 \(\binom{n}{m}\)（国际通用）

计算

\[C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} \]

排列

定义

• 排列

  从具有 n 个不同的元素的序列中，有关顺序的任取 m（m≤n）个元素即为一个排列。

  具有相同元素且元素顺序相同的排列才算同一种排列，若元素顺序不同，则是不同的排列。

  根据 m 的数量，排列还可以细分为：

  • 可分选排列： m < n 的排列
  • 全排列：m = n 的排列

• 排列数

  所有上述的排列，在序列中可取出的总数，被称作排列数，记作：
  \(A_n^m\) 或 \(P_n^m\)（都是国内通用）或 \(P(n,k)\)（国际通用）

计算

\[P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!} \]

置换

排列也可以称作置换，但通常情况下它对应全排列，相当与序列的一个映射自身的双射运算，输入一个序列，输出该序列的通过全排列组成的新序列，记作：
\(\sigma : S \stackrel{\sim}{\longrightarrow} S\)

奇偶性

由于置换会打乱原序列的顺序，因此置换存在奇偶性。

若原集合中有一对数 \(x < y\)，但在置换后的序列中同样位置的（准确说是映射后的）数对大小却相反了，既 \(\sigma(x) > \sigma(y)\)，则记为一个反向对（又称逆序），反向对的个数决定了置换的奇偶性：

• 奇置换：反向对个数为奇数。
• 偶置换：反向对个数为偶数。

对于置换的奇偶性符号可记为：

\(\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{N(\sigma )}\)

\(其中N(\sigma )指是 \sigma 中反向对的个数\)

例如在 \(\sigma(1,2,3)=(2,3,1)\) 这个置换中，出现了\((2,1),(3,1)\)两个反向对，所以 \(\operatorname{sgn}(\sigma) = 1\)。