【数学】复数

【数学】复数

定义

复数是实数和虚数的线性组合。任意一个复数 \(z\in C\) 都可以表示为如下形式：

\[z=a+bi \]

其中 \(a,b\in R\) 且 \(i^2=-1\)。

属性

• 实部：表示实数的系数，即定义中的 a。
• 虚部：表示虚数的系数，即定义中的 b。

运算

• 加法（对实部和虚部分别相加）：

  \((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)

• 乘法（与二项式乘法一致）：

  \((a+bi)*(c+di)=ac+adi+bci+dbi^2=(ac-db)+(ad+bc)i\)

• 共轭（将中间的正负号取反）：

  \(\overline{a+bi}=a-bi\)

  备注：共轭符号也可以表示为 \(z^*\)

• 乘以共轭：

  \((a+bi)(a-bi)=(a^2+b^2)+(ab-ab)i=a^2+b^2\)

• 除法（上下都乘以下面的共轭）：

  \( \displaystyle \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} \)

• 模长（将复数看成向量取其长度）：

  \(|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline{z}}\)

复数平面

将复数视为坐标，表示在 2 维平面上就构成的复数平面。根据坐标类型的不同，用两种表示方法：

直角坐标

在默认的复数写法上，可直接将复数视为向量，用实部和虚部分别表示两个轴，这样就是基于平面直角坐标系的表示方法。

极坐标

三角形式

可将复数的直角坐标转换到极坐标中，用模长和角度来表示复数位置，这种表示方法称为复数的极形：

\[z = r\cos\theta+i~r\sin\theta=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\operatorname{cis}\theta \]

注：\(\operatorname{cis}\theta\) 是 \(\cos\theta+i\sin\theta\) 的一种简写，便于更清晰的表示复数极坐标下的角度。

指数形式

极坐标的三角形式表示可以通过欧拉公式（具体见后续小节）进一步推导为指数式：

\[z=re^{i\theta} \]

这种形式更加简单，并利于一些指数形式的计算。

复数的几何意义

从极坐标的角度下比较复数乘法的结果，会发现复数的乘法实际上是对向量的缩放和旋转：

\[(r_1\operatorname{cis}\theta_1)*(r_2\operatorname{cis}\theta_2)=r_1 r_2\operatorname{cis}(\theta_1+\theta_2) \]

由此可得一些推论，如：

• \((a+bi)^n=r^n\operatorname{cis}(n\theta)\)

若将 \(z\) 看成 \(z*1\)，且 \(|z| = 1\)，则可以将复数看成是表示一种旋转变换，因此复数实际上也可以转换成旋转矩阵的表示形式（见后续章节“虚数的矩阵形式”）。

欧拉公式

有一著名的公式叫欧拉公式，成功把虚数，自然常数，三角函数结合在了一起：

\[e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta \]

当 \(\theta=\pi\) 时，则可以得到著名的欧拉恒等式。

\[e^{i\pi}=-1 \rightarrow e^{i\pi}+1=0 \]

该公式被称为最美公式，因为它成功将数学中几个看上去毫无关联的元素（自然常数 e，圆周率 \(\pi\)，虚数，三角函数，0，1）融合到了一个公式中。

推导

通过泰勒级数可知

• \(e^x= 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\dots\)
• \(\sin\theta=x-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}\dots\)
• \(\cos\theta=1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}+\dots\)

若将 \(i\) 带入自变量，使 \(x\) 等于 \(i\theta\) 时，有：

\( \begin{aligned} e^{i\theta} &=1+\frac{i\theta}{1!}+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}+\frac{(i\theta)^5}{5!}+\dots\\ &=1+i\theta-\frac{\theta^2}{2!}-i\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+i\frac{\theta^5}{5!}+\dots~\text{（计算i值）}\\ &=(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}+\dots)+i(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}+\dots)~\text{（将实数和虚数项分开存放）}\\ &=\cos\theta+i\sin\theta~\text{（带入cos和sin的泰勒级数）}\\ \end{aligned} \)

复数的矩阵形式

若将虚数表示为向量（\(a+bi= \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\cdot\)），则复数的乘法实际可以看成矩阵相乘：

\( \begin{aligned} z_1z_2&=(ac-bd)+(bc+ad)i\\ &=\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}\cdot \end{aligned} \)

其中 \(\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}\) 就是复数的矩阵形式，且满足矩阵乘法的计算结果。

设 \(r=\sqrt{a^2+b^2}\)，对复数矩阵变形：

\(\displaystyle\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}a/r&-b/r\\b/r&a/r\end{bmatrix}\)

配合复数的极坐标和其在复平面构成的三角形来看，可以发现上述矩阵的元素可以用三角函数代替：

\( r\begin{bmatrix}a/r&-b/r\\b/r&a/r\end{bmatrix}= r\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix} \)

可以发现该矩阵就是 2D 旋转矩阵，因此更进一步的确定了复数的几何意义实际就是缩放和旋转变换的复合。