【数学】微分方程

【数学】微分方程

定义

微分方程一种特别的形式的方程，这种方程中同时拥有一个函数（也可以理解为因变量）以及该函数的导数。以下两种形式的方程都可以称作微分方程：

\[\frac{dy}{dx}=x+y \iff f'(x)=x+f(x) \]

微分方程表明 y 与 x 之间的变化关系不仅与 x 有关，还与 y 自身的值也有关，也即 y 自己也会影响自己的值。因此微分方程就是用于形容这些会变化的关系，例如生物繁殖，存款利滚利，温度变化等各种现实常见现象。

分类

微分方程有几种分类：

• 常微分方程：微分方程中只有一个自变量。（如 \(y=y'+x\) 中只有 x 一个自变量）
• 偏微分方程：微分方程有两个或以上的自变量。

属性

此外还有些用于描述微分方程的属性：

• 阶数：微分方程中最高的导数阶数。
• 次数：微分方程中最高阶导数的次数。
• 线性：微分方程中因变量及其导数只被线性运算过。（即不存在 \(y^2\)，\(\sin(y)\) 等）

解微分方程

微分方程很复杂，但对一些特定形式的微分方程，是有求解办法的。

分离变量法

当所有 y 项（包括 dy）和所有 x 项（包括 dx）可以分别放在等式两边的时候，可以使用分离变量法求解：

1. 先分离 y 项和 x 项到等式两边。
2. 对两边积分（由于微分被拆解，两边各有 dxdy，故支持积分运算）。
3. 化简得出最终结果（如合并积分常数，变形为显函数）。

如求解如下公式：

\( \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{2xy}{1+x^2} \\ \frac{1}{y}dy &= \frac{2x}{1+x^2}dx \\ \int\frac{1}{y}dy &= \int\frac{2x}{1+x^2}dx \\ \int\frac{1}{y}dy &= \int\frac{1}{u}du|_{u=1+x^2} \\ \ln{y}+E &= \ln(1+x^2) +F \\ \ln{y} &= \ln(1+x^2) +C|_{C=F-E} \\ \ln{y} &= \ln(1+x^2) + \ln k|_{k^C=e} \\ \ln{y} &= \ln(k(1+x^2)) \\ y &= k(1+x^2) \end{aligned} \)