KDOI-03构造数组题解

形式化题意

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记 \(t=\frac{\sum b_i}{2}\)。

不失一般性的，令 \((i,j),1 \leq i < j \leq n\) 变为 \((i,j),1 \leq i \neq j \leq n\)。最后答案乘上 \(2^{-t}\)。

考虑容斥，记 \(c_i\) 为 \((i,i)\) 的个数，显然有答案为：

\[\sum (-1)^{\sum c_i}\binom{t}{c_1,c_2,\cdots,c_n,t-\sum c_i}\binom{2(t-\sum c_i)}{b_1-2c_1,b_2-2c_2,\cdots,b_n-2c_n} \]

考虑计算这个东西，把定项与容斥相关值提出，构造：

\[F_i(x)=\sum_{j}\frac{x^j}{j!(b_i-2j)!} \]

枚举不合法数 \(s=\sum c_i\)，有：

\[ans=\sum_s \frac{(-1)^st![2(t-s)]!}{(t-s)!}[x^s]\prod_i F_i(x) \]

可以 \(O((\sum b_i)^2)\) 完成。