一些组合问题1

颓废，怎么还没开学啊

T1( form《Symmetry in tree parking distributions》)

考虑一个拥有 \(n\) 个停车位和 \(n\) 个司机的停车场。司机依次到达并寻找空位。第 \(i\) 个司机有一个偏好的停车位 \(p_i\)。如果 \(p_i\) 空着，司机就停在那里；否则，司机依次检查下一个可用车位 \((p_{i} + 1, p_i + 2, \cdots)\)，直到找到空位停车。如果司机检查到最后一位仍无空位，则离开停车场。这个过程称为停车过程。

若所有司机都能够成功停车，那么这个数列 \(p\) 是一个好数列，计算对于一个确定的 \(n\)，好数列的数量为多少。

solution

首先可以发现，如果这些车位形成一个环（即若最后一位仍无空位，那么就会回到第一个位置），那么对于任何数列 \(p\)，都能满足条件，而且这是好数的，为 \(n ^ n\).

考虑答案是否为 \(n ^ {n - 1}\)，其实非常显然这是很难正确的，设边 \((1, 2), (2, 3), \cdots, (n, 1)\)，每个圆上的停车过程能转化成链上停车过程的个数（或者说概率）其实是依赖于车子走过边的个数，这比较难计算。

继续从环的方向考虑，首先因为在环上的方向一定，所以必然存在一条边没有被经过，那么如果在环上加一个空位，这个空位必然不会被占领或走过。接下来考虑长度为 \(n + 1\) 的环，但是只有 \(n\) 个司机，显然所有 \(p\) 数列都满足要求，个数为 \((n + 1) ^ n\)，空位出现在 \(n + 1\) 个停车位上的概率都相等，只要将个数乘上 \(\frac{1}{n + 1}\) 即可，这就得到了论文上的 \((n + 1) ^ {n - 1}\).

T2

求从点 \((0, 0)\) 到点 \((n, mn)\)，使用步长 \((1, 0)\) 和 \((0, 1)\) 的格路数径数量，且路径始终不越过直线 \(y = mx\).

solution

推导卡特兰数时，有三种方法：反射容斥、生成函数、Raney 定理

对于这题，第一种基本失效，第二种我不会反演，考虑拓展第三种

Raney 定理

设 \((a_1, a_2, ..., a_m)\) 是一个整数序列，且满足其总和 \(\sum_{i=1}^m a_i = 1\)。

那么，在它的所有m个循环移位：
\((a_1, a_2, ..., a_m)\)
\((a_2, a_3, ..., a_m, a_1)\)
...
\((a_m, a_1, ..., a_{m-1})\)

中，有且仅有一个移位，使得这个新序列的所有前缀和都严格大于0。

证明思路是计算前缀和数组 \(s_k = \sum\limits_{i = 1} ^ {k} a_i\)，猜想当且仅当在 \(s_i\) 最小的 \(i\) 后的 \(i + 1\) 位置开始的循环移位满足条件。

现在考虑利用这个引理，设 \(a_i \in \{1, -\frac{1}{m}\}\) 其中有 \(n + 1\) 个 \(1\)，\(mn\) 个 \(-\frac{1}{m}\)，其中 \(a_1 = 1\)，证明只有一种循环移位满足条件。

再次取前缀和数组 \(s_k = \sum\limits_{i = 1} ^ {k} a_i\)，设 \(a\) 数组大小为 \(M\)，那么对于 \(k > M\)，有 \(s_k = s_{k - M}\).

取 \(s_i\) 最小时的 \(i\)，证明从 \(i + 1\) 开始的循环移位的前缀和都严格大于零：设 \(F(t) = s_t - s_{i}\)，由最小性，可以知道 \(F(t) = s_t - s_i \ge s_i - s_i = 0\)，所以存在性得证，接下来证明唯一性，可以直观了解其他移位在碰到 \(a_i\) 时一定会使得前缀和小于 \(0\)，所以得证。

综上这样的 \(a\) 数组也满足 Raney 定理，答案为 \(\frac{1}{mn + n + 1}{mn + n + 1\choose n + 1}\).

Bonus：证明加强版的定理：在 \(a_i\) 为实数，\(\sum\limits_{k = 1} ^ M a_i > 0\) 时，定理仍然成立。

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