CMC蒲和平1.1

例2.

设 \(f(x) = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + x^n + \left(\dfrac{x^2}{2}\right)^n}(x>0)\)，求 \(f(x)\) 的显式表达式。

结论：\(a_i > 0(i = 1, 2, ..., m)\)，有 \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n} = \max\limits_{1\le i\le n} \{a_i\}\).

证明：

设原极限为 \(A\)，不妨设 \(a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_m\)，首先有 \(A \le a_m\)，再有 \(A = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_m \sqrt[n]{(\frac{a_1}{a_m})^n+(\frac{a_2}{a_m})^n + \cdots + 1} \ge a_m\)，根据夹逼原理，有 \(A = a_m\)。

例10.

设有一实值连续函数，对于所有的实数 \(x\) 和 \(y\) 满足函数方程 \(f(x+y)=f(x)f(y)\)，以及 \(f(1) = 2\)，证明：\(f(x) = 2 ^ x\).

proof

柯西方程，深入粗略了解：【漫士】这个函数图像居然可以遍布整个平面？

首先易证整数情况满足命题，只需令 \(y = \pm 1, x = n, n\in \Z\) 即可得到 \(f(n) = 2 ^ n(n\in \Z)\).

取一整数 \(m\)，那么有 \(f(m) = f(\frac{m}{n})^n (n\in \N^+)\)，所以可以得到所有有理数都满足 \(f(x) = 2^x\).

这里比较简单，函数连续，而将无理数小数点后无穷位后截断可以得到有理数，根据连续的性质，所有无理数也满足 \(f(x) = 2^x\). \(\Box\)

习题9.

若对于任意 \(x,y\)，有 \(f(x) - f(y) \le (x - y) ^ 2\)，求证对于任意正整数 \(n\)，任意 \(a, b\)，有

\[|f(b) - f(a)| \le \frac{1}{n} (b - a) ^ 2 \]

proof 1(trival)

注意到 \(n\rightarrow \infty\)，有 \(|f(b) - f(a)| = 0\)，所以只需证明 \(f(x) = C\)，即证 \(f^{'}(x) = 0\).

\[|f^{'}(x)| = \left|\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right| \le \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} |\Delta x| = 0 \]

根据夹逼定理，可证明完成。

proof 2

将区间 \([a, b]\) 分成 \(n\) 段，设 \(x_i = a + \frac{b - a}{n}\cdot i\)，有 \(f(x_{i + 1}) - f(x_i) \le (\frac{b - a}{n})^2\)，又有 \(f(x_i) - f(x_{i + 1}) \le (\frac{b - a}{n}) ^ 2\)，所以有 \(|f(x_{i + 1}) - f(x_i)| \le (\frac{b - a}{n}) ^ 2\).

对于目标式：

\[|f(b) - f(a)| = \left|\sum\limits_{i = 1} ^ n f(x_i) - f(x_{i - 1})\right| \le \sum\limits_{i = 1}^n |f(x_i) - f(x_{i-1})| \le n\cdot \left(\frac{b - a}{n}\right) ^ 2 = \frac{1}{n} (b - a) ^ 2 \]

习题10.

求实系数二次多项式 \(p(x)\)，使得 \(\forall x\in[-1, 1]\)，都有 \(\left|p(x) - \frac{1}{x-3}\right| < 0.02\).

solution

考虑对于 \(\frac{1}{x-3}\) 级数展开，设 \(p(x) = ax^2 + bx + c\).

\[\left|p(x) - \frac{1}{x-3}\right| = \left|p(x) + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{3}}\right| =\left|p(x) + \frac{1}{3}\cdot\left(1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9}\right) + \frac{x^3}{81-27x}\right| \]

取 \(a = -\frac{1}{27}, b = -\frac{1}{9}, c = -\frac{1}{3}\)，易得不等式成立。