CF1016G Appropriate Team

首先一个结论是：只有在 \(Y \bmod X =0\) 时，才有答案。

证明显然，因为 \(\gcd\) 和 \(\operatorname{lcm}\) 的性质，\(a_i\) 和 \(v\) 是 \(X\) 的倍数，\(a_j\) 和 \(v\) 是 \(Y\) 的因数。

那么接下来，因为 \(X\) 和 \(Y\) 是固定的，容易想到将它们分解质因数。

分解质因数你可以使用 Pollard's Rho 算法，但其实有个更简单的做法，我们待会儿介绍。

现在设 \(X=p_1^{cntx_1}p_2^{cntx_2}...p_k^{cntx_k}\)，\(Y=p_1^{cnty_1}p_2^{cnty_2}...p_k^{cnty_k}\)，把质因数集合定为 \(Y\) 的质因数集合，如果 \(X\) 没有某个质因数 \(p_i\) 则 \(cntx_i=0\) 。

接着把所有 \(a_i\) 和 \(v\) 也分解成这个形式，\(a_i=p_1^{cnt_{i,1}}p_2^{cnt_{i,2}}...p_k^{cnt_{i,k}}\)，\(v=p_1^{cntv_1}p_2^{cntv_2}...p_k^{cntv_k}\)。

那么 \(\gcd\) 和 \(\operatorname{lcm}\) 的限制就可以转化为，对于 \(1\le s\le k\)，\(\min(cnt_{i,s},cntv_s)=cntx_s\)，\(\max(cnt_{j,s},cntv_s)=cnty_s\)。

如果 \(cntx_s=cnty_s\) 的话，显然 \(v\) 必须恰好有 \(cntx_s\) 个 \(p_s\)，因为 \(a_i\) 是 \(X\) 的倍数，\(a_j\) 是 \(Y\) 的因数，所以 \(cnt_{i,s}\ge cntx_s\)，\(cnt_{j,s}\le cnty_s\)，那么一定能够满足限制，所以可以无视这一位，把它删掉了。

如果 \(cntx_s < cnty_s\) 的话，我们分类讨论，发现只有一种情况是不合法的：\(cnt_{i,s}> cntx_s\)，\(cnt_{j,s}< cnty_s\)，这时候 \(cntv_s\) 既要等于 \(cntx_s\)，又要等于 \(cnty_s\)，于是就矛盾了。

这时候问题可以转到我们熟悉的二进制上去！设 \(minn_x\) 表示所有是 \(X\) 倍数的 \(a_i\) 对于每个 \(s\)，若 \(cnt_{i,s}> cntx_s\) 则第 \(s\) 位为 \(1\)，否则为 \(0\)，最后的二进制总和为 \(x\) 的有几个。类似地，设 \(maxn_x\) 表示所有是 \(Y\) 因数的 \(a_i\) 对于每个 \(s\)，若 \(cnt_{i,s}< cnty_s\) 则第 \(s\) 位为 \(1\)，否则为 \(0\)，最后的二进制总和为 \(x\) 的有几个。

于是最后的答案就为 \(\sum minn_imaxn_j \,[\,i\&j =0\,]\)。

最后就是，怎么对 \(Y\) 分解质因数。题解给出了一个非常巧妙的做法：先把 \(1\sim 10^6\) 的质数筛出来，把 \(Y\) 在这之间的质因数去掉。那么剩下的数 \(s\) 要么是一个大质数，要么是一个大质数的平方，要么是两个不同的大质数的乘积。是不是一个大质数的平方很容易用 \(\operatorname{sqrtl}\) 判断。接下来，判断 \(s\) 是否等于 \(p\times q\)，你发现如果不存在一个 \(a_i\) 是 \(p\) 的倍数但不是 \(q\) 的倍数或是 \(q\) 的倍数但不是 \(p\) 的倍数，那么所有的 \(a_i\) 要么都没有 \(p\)、\(q\) 两个因子，要么都有这两个因子，那么我们可以把 \(p\times q\) 看成一个因子，这对答案不会有影响。所以判断 \(s\) 是否等于 \(p\times q\)，只要将 \(s\) 和所有 \(a_i\) 取个 \(\gcd\)，若 \(\gcd\) 不等于 \(1\) 也不等于 \(s\)，说明找到了 \(p\)、\(q\) 中的一个，就做完了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+10,M=1e6+10;
int n,m,x,y,s,ans,a[N],minn[(1<<15)+10],maxn[(1<<15)+10];
int tot,vis[M],pr[M],p[16],cntx[16],cnty[16];
void find()
{
    for(int i=1,g;i<=n;i++)
    {
        g=__gcd(a[i],s);
        if(g!=1&&g!=s)
        {
            p[++m]=g,cnty[m]=1;
            p[++m]=s/g,cnty[m]=1;
            return;
        }
    }
    p[++m]=s,cnty[m]=1;
    return;
}
signed main()
{
    for(int i=2;i<=M-10;i++)
    {
        if(!vis[i])pr[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot&&pr[j]*i<=M-10;j++)
        {
            vis[pr[j]*i]=1;
            if(i%pr[j]==0)break;
        }
    }
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&x,&y),s=y;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
    if(y%x)printf("0");
    else
    {
        for(int i=1;i<=tot;i++)
        {
            if(s%pr[i]==0)
            {
                p[++m]=pr[i];
                while(s%pr[i]==0)s/=pr[i],cnty[m]++;
            }
        }
        if(s>1)
        {
            int sq=sqrtl(s);
            if(sq*sq==s)p[++m]=sq,cnty[m]=2;
            else find();
        }
        for(int i=1,s=x,j=0;i<=m;i++)
        {
            while(s%p[i]==0)cntx[i]++,s/=p[i];
            if(cntx[i]!=cnty[i])p[++j]=p[i],cntx[j]=cntx[i],cnty[j]=cnty[i];
            if(i==m)m=j;
        }
        for(int i=1,sum;i<=n;i++)
        {
            if(a[i]%x)continue;
            sum=0;
            for(int j=1,s=a[i],cnt;j<=m;j++)
            {
                cnt=0;
                while(s%p[j]==0)cnt++,s/=p[j];
                if(cnt>cntx[j])sum+=(1<<(j-1));
            }
            minn[sum]++;
        }
        for(int i=1,sum;i<=n;i++)
        {
            if(y%a[i])continue;
            sum=0;
            for(int j=1,s=a[i],cnt;j<=m;j++)
            {
                cnt=0;
                while(s%p[j]==0)cnt++,s/=p[j];
                if(cnt<cnty[j])sum+=(1<<(j-1));
            }
            maxn[sum]++;
        }
        for(int i=0;i<m;i++)for(int j=0;j<(1<<m);j++)if((j>>i)&1)maxn[j]+=maxn[j-(1<<i)];
        for(int i=0;i<(1<<m);i++)ans+=minn[i]*maxn[(1<<m)-1-i];
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}