CF494C Helping People

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看到保证区间不会交错，没想出来这个性质是干什么的，看了题解才知道，这说明区间之间只会互相包含。

那么我们就可以为每个区间指定一个 \(fa\) 区间来代表最小的包含它的区间，不难发现这构成了森林！

更妙的是，当我们加入一个 \(l=1,r=n,p=0\) 的区间，表示这个区间覆盖了整个数组，并且不可能有加一的机会时，你发现这个区间加入后对答案没有一点影响，而且它可以包含其他所有区间，所以森林又可以变成树了！

把区间问题转化成树上问题，因为一个区间最后的最大值一定不超过原来的最大值加上执行的区间的次数，也就是不超过原来的最大值加上 \(q\)，所以我们可以设计一个 \(dp[u][i]\) 表示区间 \(u\) 为根的子树里区间被执行后最大值 \(\le\) 原来的最大值 \(+i\) 的概率，最后的答案就可以通过 \(dp[1]\) 求出了。表示 \(\le\) 是为了让转移更方便，最后我们也可以让 \(dp[1][i]\) 减去 \(dp[1][i-1]\) 来算出等于的概率。

如何转移呢？显然我们要保证区间内所有的子区间操作后的最大值也 \(\le\) 原来的最大值 \(+i\)，所以

\[dp[u][i]=p[i]\Pi dp[v][i+maxn[u]-maxn[v]-1]+(1-p[i])\Pi dp[v][i+maxn[u]-maxn[v]] \]

其中 \(maxn[u]\) 代表 \(u\) 这个区间原来的最大值。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=5e3+10;
struct node{
    int l,r;
    double p;
}q[N];
bool cmp(node x,node y){return x.l^y.l?x.l<y.l:x.r>y.r;}
int n,m,tot=1,a[N],st[N],maxn[N],lo[N],f[N][25];
vector<int>e[M];
double dp[M][M],ans;
int query(int l,int r)
{
    int s=lo[r-l+1];
    return max(f[l][s],f[r-(1<<s)+1][s]);
}
void dfs(int u)
{
    for(int v:e[u])dfs(v);
    for(int i=0;i<=m;i++)
    {
        double s1=1,s2=1;
        if(!i)s1=0;
        for(int v:e[u])
        {
            if(i){if(i-1+maxn[u]-maxn[v]<=m)s1*=dp[v][i-1+maxn[u]-maxn[v]];}
            if(i+maxn[u]-maxn[v]<=m)s2*=dp[v][i+maxn[u]-maxn[v]];
        }
        dp[u][i]=s1*q[u].p+s2*(1-q[u].p);
    }
    return;
}
int main()
{
    for(int i=2;i<=N-10;i++)lo[i]=lo[i>>1]+1;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),f[i][0]=a[i];
    for(int j=1;j<=20;j++)for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);
    for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%lf",&q[i].l,&q[i].r,&q[i].p);
    q[++m]={1,n,0};
    sort(q+1,q+1+m,cmp),st[1]=1,maxn[1]=query(1,n);
    for(int i=2;i<=m;i++)
    {
        while(q[st[tot]].r<q[i].l)tot--;
        maxn[i]=query(q[i].l,q[i].r),e[st[tot]].push_back(i),st[++tot]=i;
    }
    dfs(1);
    for(int i=m;i>=1;i--)dp[1][i]-=dp[1][i-1];
    for(int i=0;i<=m;i++)ans+=dp[1][i]*(maxn[1]+i);
    printf("%lf",ans);
    return 0;
}