关于一道高斯函数题目
令 \(\lfloor x \rfloor\) 为不大于 \(x\) 的最大整数。\(\{x\} = x - \lfloor x \rfloor\)。
题目 1
题面
求值：
\[\sum\limits_{i=1}^{2015} \left\{\frac {2015 i} {2016} \right\}
\]
标准答案
\[\begin{aligned}
& \left\{\frac {2015 i} {2016} \right\} \\
=& \left\{\frac {(2016-1) i} {2016} \right\} \\
=& \left\{\frac {-i} {2016} \right\} \\
=& 1 - \frac i {2016}
\end{aligned}\]
对这个求和就没有难度了。答案为 \(\boxed{\frac {2015} 2}\)。
题目 2
求值：
\[\sum\limits_{i=1}^{2015} \left\{\frac {2011 i} {2016} \right\}
\]
尝试使用上文的方法
\[\begin{aligned}
& \left\{\frac {2011 i} {2016} \right\} \\
=& \left\{\frac {(2016-5) i} {2016} \right\} \\
=& \left\{\frac {-5i} {2016} \right\} \\
\end{aligned}\]
好了不会了。
使用数论！
\[\begin{aligned}
& \left\{\frac {2011 i} {2016} \right\} \\
=& \frac 1 {2016} (2011i \bmod 2016) \\
\end{aligned}\]
引理 1
若 \(a \perp m\) 且 \(ax \equiv ay \pmod m\)，则 \(x \equiv y \pmod m\)。
证明：\(a(x-y) \equiv 0 \pmod m\)，因此 \(x-y \equiv 0 \pmod m\)。
继续推导
\[\begin{aligned}
& \sum\limits_{i=1}^{2015} \left\{\frac {2011 i} {2016} \right\} \\
=& \frac 1 {2016} \sum\limits_{i=1}^{2015} (2011i \bmod 2016) \\
=& \frac 1 {2016} \sum\limits_{i=1}^{2015} i & \text{引理 1} \\
=& \boxed{\frac {2015} 2}
\end{aligned}\]
题目 3
求值：（\(a,m\) 均为正整数）
\[\sum\limits_{i=1}^{m} \left\{\frac {a \times i} m \right\}
\]
使用数论！
引理 2
若 \(ax \equiv ay \pmod m\)，则 \(x \equiv y \pmod {\frac m {\gcd(a,m)}}\)。
证明：两边同除 \(\frac a {\gcd(a,m)}\) 后显然。
继续推导
\[\begin{aligned}
& \sum\limits_{i=1}^m \left\{\frac {a \times i} m \right\} \\
=& \frac 1 m \sum\limits_{i=1}^m (ai \bmod m) \\
=& \frac 1 m \gcd(a,m)^2 \sum\limits_{i=1}^{\frac m {\gcd(a,m)}-1} i & \text{引理 2} \\
=& \boxed{\frac {m - \gcd(a,m)} 2}
\end{aligned}\]
另一种方法：皮克定理
原式即为：
\[\sum\limits_{i=1}^m \frac {a \times i} m - \sum\limits_{i=1}^m \left\lfloor \frac {a \times i} m \right\rfloor
\]
而 \(\sum\limits_{i=1}^m \left\lfloor \frac {a \times i} m \right\rfloor\) 即为 \(y = \frac a m x\) 上及其下方的整点个数。使用皮克定理：
\[I = A - \dfrac B 2 + 1
\]
\[\sum\limits_{i=1}^m \left\lfloor \frac {a \times i} m \right\rfloor - \gcd(a,m) - a + 1 = \frac {am} 2 - \frac{m + a + \gcd(a,m)} 2 + 1
\]
\[\sum\limits_{i=1}^m \left\lfloor \frac {a \times i} m \right\rfloor = \frac {am + a - m + \gcd(a,m)} 2
\]
化简可得：
\[\sum\limits_{i=1}^m \left\{\frac {a \times i} m \right\} = \boxed{\frac {m - \gcd(a,m)} 2}
\]
总结
- 遇到高斯函数与分数的相关问题，可以考虑数论中的 \(\bmod\) 运算。
- 利用高斯函数的几何意义，将求和问题改为数整点问题，利用皮克定理求解。
\[\sum\limits_{i=1}^m \left\lfloor \frac {a \times i} m \right\rfloor = \frac {am + a - m + \gcd(a,m)} 2
\]
\[\sum\limits_{i=1}^{m-1} \left\lfloor \frac {a \times i} m \right\rfloor = \frac {am - a - m + \gcd(a,m)} 2
\]
\[\sum\limits_{i=1}^m \left\{\frac {a \times i} m \right\} = \frac {m - \gcd(a,m)} 2
\]
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