Pick's Theorem 学习笔记

Pick's Theorem 学习笔记

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题意：顺时针或逆时针地给出一个 \(n\) 个顶点（顶点都是整点）的简单多边形，求这个多边形内部的整点数量（位于多边形形上的整点不算）。

Pick's Theorem

对于一个顶点都是整点的简单多边形：

令 \(I\) 为多边形内部的整点数量，\(B\) 为多边形形上的整点数量，\(A\) 为多边形面积。有公式：

\[A = I + \dfrac B 2 - 1 \]

比较有用的是它的变形：

\[I = A - \dfrac B 2 + 1 \]

Pick's Theorem 的证明

对于一个 \(B = 3\) 的三角形，其面积 \(A\) 必然为 \(\dfrac 1 2\)。

采用数学归纳法的思路：将多边形剖成若干个 \(B=3\) 的三角形，每次切除一个三角形，要么减少一个边上的点，要么将一个内部的点转化为边上的点，直到把多边形切成一个只有两点的线段。

因此 \(A = \dfrac 1 2 (2I + B - 2) = I + \dfrac B 2 - 1\)。

关于 Pick's Theorem

皮克定理有许多有趣的应用，可以看 Matrix67 的这篇文章。

相关练习：P2735 [USACO3.4] 网 Electric Fences

此题解法

利用向量叉积求出多边形面积 \(A\)，用一点简单数论求出 \(B\)，再用 Pick's Theorem 即可求出 \(I\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define gcd __gcd
using namespace std;
typedef long long ll;

const int MAXN = 1000 + 5;

struct Point {
    ll x, y;
    Point(ll x, ll y) : x(x), y(y) {}
};
ll cross(Point &a, Point &b) {
    return a.x * b.y - a.y * b.x;
}

int n;
vector<Point> points;

int main() { ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
    while (1) {
        cin >> n;
        if (n == 0)
            break;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int x, y; cin >> x >> y;
            points.emplace_back(x, y);
        }
        points.push_back(points[0]);

        ll area = 0, edge = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            auto &a = points[i-1], &b = points[i];
            ll dx = abs(b.x - a.x), dy = abs(b.y - a.y);
            area += cross(a, b);
            edge += gcd(dx, dy);
        }

        area = abs(area) / 2;

        cout << area - edge / 2 + 1 << '\n';

        points.clear();
    }
    return 0;
}

参考

• Pick's Theorem - Art of Problem Solving
• 图片来自 Pick's theorem - Wikipedia