差分操作正确性证明

差分操作正确性证明

本文是作者因题目写差分写挂了后随手总结的。

定义

对于一个长度为 \(n\) 的数组 \(a\)，定义其差分数组为 \(p\)，且 \(\forall 1\le i\le n,p_i=a_i-a_{i-1}(a_0=0)\)。

转化回原数列

给些式子就懂了。

根据定义：

\[p_1+p_2+p_3+\cdots +p_k\\ =a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots +(a_k-a_{k-1})\\ =a_k \]

所以，\(a_k=\sum_{i=1}^k p_i\)。

\[a_k=\sum_{i=1}^k p_i\\ a_k=\sum_{i=1}^{k-1}p_i+p_k\\ a_k=a_{k-1}+p_k \]

另一种：

\[p_x=a_x-a_{x-1}\\ a_x=a_{x-1}+p_x \]

所以只要把 \(p\) 数组当作新的原数组，再将这个数组做个前缀和就 OK 了。

区间加法

假设需要将原数列的 \([l,r]\) 全部加上 \(v\)。那么暴力是 \(O(n)\) 的，考虑用差分优化。

公式：\(p_l\gets p_l+v,p_{r+1}\gets p_{r+1}-v\)。

证明：

显然 \(\forall 1\le i\le l-1\)，\(p_i\) 是不变的。那么考虑转化的本质。

我们设 \(s_i\) 表示修改后的数组。即 \(s_i=s_{i-1}+p_i\)。

\[\forall l\le i\le r\\ s_i=\sum_{j=1}^{i}p_j\\ s_i=\sum_{j=1}^{i-1}p_j+p_i\\ s_i=s_{i-1}+p_j \]

那么在 \([l,r]\) 区间里的数，在前缀和时就会被 \(s_l\) 加上 \(v\)。而 \([r+1,n]\) 里的数（不动的），则在 \(s_{r+1}\) 时减回来了，故值不变。

来点劝退的证明：

设 \(p'_i\) 为进行完区间加操作的 \(p_i\)。

\[\forall 1\le i< l:p'_i=p_i\\ p'_l=p_l+v\\ \forall r<i\le n:p_i=p'_i\\ \\ \forall l\le i\le r:\\ \sum_{j=1}^i p'_j\\ =\sum_{j=1}^{l-1}p'_j+p'_l+\sum_{j=l+1}^i p'_j\\ =\sum_{j=1}^{l-1}p_j+p_l+v+\sum_{j=l+1}^i p_j\\ =\sum_{j=1}^ip_j+v\\ = s_j\\ \\ \forall r<i\le n:\\ \sum_{j=1}^i p'_j\\ =\sum_{j=1}^r p'_j+p'_{r+1}+\sum_{j=r+2}^ip'_j\\ =\sum_{j=1}^r p_j+v+p_{r+1}-v+\sum_{j=r+2}^ip_j\\ =\sum_{j=1}^i p_j\\ =s_j \]

差分大概也就用到这些，再复杂点的就用线段树吧。

例题

给道例题：NOIP 2012 提高组 借教室。

代码：（差分+二分，时间复杂度 \(O(n\log m)\)）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ljl;
const int N=1e6+5;
int n,m;
ljl a[N],tp[N],sum[N],p[N];
struct R{
	int s,t;
	ljl d;
}r[N];
void addlr(int l,int r,int v)
{
	p[l]+=v;p[r+1]-=v;
	return;
}
bool check(int x)//check [1,x]
{
	for(int i=1;i<=n;++i)p[i]=tp[i];
	for(int i=1;i<=x;++i)addlr(r[i].s,r[i].t,-r[i].d);
	memset(sum,0,sizeof(sum));
	for(int i=1;i<=n;++i)
		sum[i]=p[i]+sum[i-1];
	for(int i=1;i<=n;++i)if(sum[i]<0)return 0;
	return 1;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;++i)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=m;++i)
		cin>>r[i].d>>r[i].s>>r[i].t;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		tp[i]=a[i]-a[i-1];
	int l=0,r=m,mid=0;
	while(l<r)
	{
		mid=(l+r+1)>>1;
//		cout<<l<<' '<<r<<' '<<mid<<' '<<check(mid)<<'\n';
		if(check(mid))l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	if(l==m){cout<<"0\n";return 0;}
	cout<<"-1\n"<<l+1<<'\n';
	return 0;
}