广义牛顿二项式定理

普通的牛顿二项式定理在高中学习过的，当乘方为正整数的时候，但是有些时候需要用到不一定是正整数的情况（比如生成函数），需要用到分数或者负数等等，于是广义牛顿二项式定理就出来了。

首先我们引入牛顿二项式系数${r \choose n}$。

牛顿二项式系数定义:

设r为实数，n为整数，引入形式符号

$${r \choose n}=
\begin{cases}
0， & n<0\\
1， & n=0\\
\frac{r(r-1)\cdots (r-n+1)}{n!}， & n>0
\end{cases}$$

广义牛顿二项式定理：

　　　　　　　　　　　　　　　　$(x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty{\alpha \choose n}x^{n}y^{\alpha-n}$

其中x，y，α为实数，且$\mid\frac{x}{y}\mid<1$
证明：

证明需要用到数学分析的知识，没学过的话，应该看不懂2333。

令$z=\frac{x}{y}$则有：

$(x+y)^{\alpha}=y^{\alpha}(1+z)^{\alpha}，\mid z\mid <1$

设$f(z)=(1+z)^{\alpha}$，于是有：

$f^{(n)}(z)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)(1+z)^{\alpha -n}$

因此，当z₀=0时，这个函数的泰勒公式（此时应该称为麦克劳林展开式）有如下形式：

$(1+z)^{\alpha} =1+\frac{\alpha}{1!}z+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}z^{2}+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}z^{n}+r_n(0;z)$

也就是：

$(1+z)^{\alpha}=1+{\alpha \choose 1}z+{\alpha \choose 2}z^{2}+\cdots +{\alpha \choose n}z^{n}+r_n(0;z)$

将余项使用柯西公式得：

$r_n(0;z)=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}{n!}(1+ξ)^{\alpha -n}(z-ξ)^{n}z$

其中ξ介于0到z之间.

将余项变形一下可得:

$r_n(0;z)=\alpha (1-\frac{\alpha}{1})\cdots (1-\frac{\alpha}{n})(1+ξ)^{\alpha}(\frac{z-ξ}{1+ξ})^{n}z$

因为当$\mid z\mid <1$的时候，从ξ在0和z之间这个条件可以推出:

$\mid \frac{z-ξ}{1+ξ}\mid =\frac{\mid z\mid -\mid ξ\mid}{\mid 1+ξ\mid}\leq \frac{\mid z\mid -\mid ξ\mid}{1-\mid ξ\mid}=1-\frac{1-\mid z\mid}{1-\mid ξ\mid}\leq 1-(1-\mid z\mid)=\mid z\mid$

于是$\mid r_n(0;z)\mid \leq\mid \alpha (1-\frac{\alpha}{1})\cdots (1-\frac{\alpha}{n})\mid (1+ξ)^{\alpha}\mid z\mid ^{n+1}$

因为$\mid r_{n+1}(0;z)\mid\leq\mid r_n(0;z)\mid \times \mid (1-\frac{\alpha}{n+1})z\mid$又因为$\mid z\mid <1$，所以，如果$\mid z\mid <q<1$，则不管$\alpha$值如何，对于足够大的n将有$\mid (1-\frac{\alpha}{n+1})z\mid <q<1$，这就是说当$n\rightarrow\infty$时，有$r_n(0;z)\rightarrow 0$，由此说明当$\mid z\mid <1$的时候，无穷级数$1+{\alpha \choose 1}z+{\alpha \choose 2}z^{2}+\cdots +{\alpha \choose n}z^{n}+\cdots (*)$收敛于$(1+z)^{\alpha}$。

这时对于式子$y^{\alpha}(1+z)^{\alpha}，\mid z\mid <1$将左边展开成无穷级数再将$y^\alpha$乘上就得到了我们的$(x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty{\alpha \choose n}x^{n}y^{\alpha-n}$

当$\mid z\mid >1$时，由达朗贝尔比值检验法可以得出，只要$\alpha\notin\mathbb{N}$，级数(*)总是发散的。

特别地，当$\alpha\in\mathbb{N}$时，对函数$f(z)$来说，任意高于n阶的导数均为0，余项为0，直接展开就完事了，展开得到的就是高中学过的二项式定理。

参考资料卓里奇的《数学分析》与屈婉玲《离散数学》