Anchored Neighborhood Regression for Fast Example-Based uper Resolution【阅读笔记】GR全局回归

论文信息

[Anchored Neighborhood Regression for Fast Example-Based uper Resolution]-TIMOFTER, 2013, IEEE International Conference on Computer Vision

前置内容

邻域嵌入（Neighbor Embedding, NE）是“样本-样本”映射，在训练样本中寻找测试样本的相似邻居特征样本，计算量略大。

稀疏编码（Sparse Coding）重建的过程是从字典中自适应的选择一个或者多个字典原子，这些字典原子适合当前输入低分辨率图像块特征，最后利用这些字典原子的线性组合来得到相应的高频细节特征。需要在重建过程计算LR到HR图的原子投影矩阵，计算复杂度高。

锚点邻域回归（Anchored Neighborhood Regression, ANR）改进SC算法，SC的原子投影矩阵需要在重建过程进行在线处理，耗时很大。ANR算法提出找一个投影矩阵可以在训练阶段离线计算，映射关系确定后在重建过程直接使用，可以实时重建高分辨率图像。

稀疏表示的思想在于LR字典与HR字典可以共用一套稀疏系数矩阵

LR: 低分辨率；HR：高分辨率

全局回归（ Global Regression）

全局回归（ Global Regression, GR）是ANR的极端情况。全局回归通过相同的投影矩阵把LR特征投射到HR空间 ，针对所有字典特征,，由GR引出投影矩阵的公式

假设输入图像块特征对应相同的映射矩阵全局回归看作稀疏为 $l_2$<script type="math/tex;mode=inline" id="MathJax-Element-10">l_2</script>l_2 范数正则化的最小二乘回归

$min\Vert y_F-N_l\beta {\Vert }_2^2+\lambda \Vert \beta {\Vert }_2(1)$<script type="math/tex;mode=inline" id="MathJax-Element-2">min\lVert y_F-N_l\beta \rVert_2^2+ \lambda \rVert\beta\rVert_2 (1)</script>min\lVert y_F-N_l\beta \rVert_2^2+ \lambda \rVert\beta\rVert_2 (1)

其中， $y_F$<script type="math/tex;mode=inline" id="MathJax-Element-5">y_F</script>y_F 表示 输入的LR块特征， $N_l$<script type="math/tex;mode=inline" id="MathJax-Element-7">N_l</script>N_l 表示 LR空间的邻居元素， $\beta$<script type="math/tex;mode=inline" id="MathJax-Element-4">\beta</script>\beta 表示稀疏系数， $\lambda$<script type="math/tex;mode=inline" id="MathJax-Element-11">\lambda</script>\lambda 是正则项解决 singularity (ill-posed) problems

1、在NE算法中， $N_l$<script type="math/tex;mode=inline" id="MathJax-Element-3">N_l</script>N_l 是输入特征样本 $y_F$<script type="math/tex;mode=inline" id="MathJax-Element-8">y_F</script>y_F 的K个邻居元素（特征样本）

2、在本文中 $N_l$<script type="math/tex;mode=inline" id="MathJax-Element-6">N_l</script>N_l 表示在LR字典中，中心原子的 $K$<script type="math/tex;mode=inline" id="MathJax-Element-9">K</script>K 个最近邻居元素（原子）

我们可以将这个问题重新表述为由系数的 $l_2$<script type="math/tex;mode=inline" id="MathJax-Element-1">l_2</script>l_2 范数正则化的最小二乘回归，求Eq1得稀疏系数

<script type="math/tex;mode=inline"> β = (N_l^T N_l + λI)^{−1}N_l^T y_F (2)</script> β = (N_l^T N_l + λI)^{−1}N_l^T y_F (2)

因为LR字典与HR字典共用稀疏系数，so HR patch 重建表示如下:

<script type="math/tex;mode=inline">x = N_h \beta(3) </script>x = N_h \beta(3)

<script type="math/tex;mode=inline">x</script>x : 输出的HR patch； <script type="math/tex;mode=inline">N_h</script>N_h ： <script type="math/tex;mode=inline">N_l</script>N_l 的邻居HR元素

---

考虑是GR是特殊情况，即中心原子的邻居元素是字典的其他的原子，可以表示如下：

<script type="math/tex;mode=inline">(N_h, N_l)=(D_h, D_l)(4) </script>(N_h, N_l)=(D_h, D_l)(4)

将Eq4带入Eq2，3，得到

$x=D_h(D_l^T{D}_l+\lambda I{)}^{-1}{D}_l^T{y}_F(5)$<script type="math/tex;mode=inline" id="MathJax-Element-12">x = D_h(D_l^T D_l + λI)^{−1}D_l^T y_F(5) </script>x = D_h(D_l^T D_l + λI)^{−1}D_l^T y_F(5)

$y_F$<script type="math/tex;mode=inline" id="MathJax-Element-14">y_F</script>y_F 是输入的LR特征patch， $x$<script type="math/tex;mode=inline" id="MathJax-Element-15">x</script>x 是输出的HR 特征patch；

投影矩阵表示为：

$P_G=D_h(D_l^T{D}_l+\lambda I{)}^{-1}{D}_l^T(6)$<script type="math/tex;mode=inline" id="MathJax-Element-13">P_G = D_h(D_l^T D_l + λI)^{−1}D_l^T(6) </script>P_G = D_h(D_l^T D_l + λI)^{−1}D_l^T(6)

投影矩阵可以在训练阶段离线计算，在重建阶段输入LR 特征patch 乘以 投影矩阵 就可以输出HR 特征 patch。

全局回归通过相同的投影矩阵把 LR特征投射到HR空间，针对所有字典特征。得到的HR特征不一定与LR特征匹配算法灵活性差，图像质量不理想

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