初等群论

 

写在前面:

  群论是个很奇妙的东西,多多少少会一些,系统地学一下

  一篇学习笔记,便于复习

  非原创内容标明出处

我们都在努力奔跑,我们都是追梦人

by sourcerabbit

 

目录

概念

  1. 二元运算

  2. 子群

发展

应用

  1. 加法乘法群

  2. 有限群的特殊性质

  3. 有限循环群/同余定理

 

概念

二元运算

  二元运算是由两个元素形成第三个元素的一种规则

——bia度百科

 

  在数学中,表示一个拥有满足封闭性结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构

  在数学和抽象代数中,群论研究名为的代数结构

  在抽象代数中具有基本的重要地位:许多代数结构,包括环、域和模等可以看作是在的基础上添加新的运算和公理而形成的

  的概念在数学的许多分支都有出现,而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响

——bia度百科

  给定一个集合G,以及在集合G上的二元运算”“,并且满足:

    ①封闭性:∀a,b∈G,∃c∈G,满足a?b==c

    ②结合律:∀a,b,c∈G,满足(a?b)?c==a?(b?c)

    ③单位元e:∃e∈G,∀a∈G,满足a?e==e?a==a

    ④逆元:∀a∈G,∃b∈G,满足a?b==b?a==e,记b==a-1

  则称集合G在运算”“之下是一个,简称G

  “可以是任意运算:

    如果是具体的乘法,那么就称G乘法群

    如果是具体的加法,那么久称G加法群

  群G中元素的个数可以是有限的,可以是无限的

    如果有限,则称G有限群

      有限群的元素个数称为有限群的

    如果无限,则称G无限群

——信息学奥赛之数学一本通

 

子群

  如果(G,?)是群,H是G的非空子集,且(H,?)也是群,那么称H是G的子群

——bia度百科

 

发展

  群论是法国数学家伽罗瓦的发明。伽罗瓦是一个极具传奇性的人物,年仅21岁就英年早逝于一场近乎自杀的决斗中,他用该理论,具体来说是伽罗瓦群,解决了五次方程问题。在此之前柯西,阿贝尔等人也对群论作出了贡献

  最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群,它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时,经由J.-L.拉格朗日、P.鲁菲尼、N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦引入和发展,并有成效地用它彻底解决了这个中心问题

  某个数域上一元n次多项式方程,它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群,1832年伽罗瓦证明了:一元 n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”(有限群)。由于一般的一元n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn,而当n≥5时Sn不是可解群,所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解

  伽罗瓦还引入了置换群同构正规子群等重要概念。应当指出,A.-L.柯西早在1815年就发表了有关置换群的第一篇论文,并在1844~1846年间对置换群又做了很多工作。至于置换群的系统知识和伽罗瓦用于方程理论的研究,由于伽罗瓦的原稿是他在决斗致死前夕赶写成的,直到后来才在C.若尔当的名著“置换和代数方程专论”中得到很好的介绍和进一步的发展。置换群是最终产生和形成抽象群的第一个最主要的来源

  在数论中,拉格朗日和C.F.高斯研究过由具有同一判别式D的二次型类,即f=ax2+2bxy+cy2,其中abс为整数,xy取整数值,且D=b2-aс为固定值,对于两个型的"复合"乘法,构成一个交换群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克罗内克于1870年在其代数数论的研究中也引进了有限交换群以至有限群。这些是导致抽象群论产生的第二个主要来源

  在若尔当的专著影响下,(C.)F.克莱因于1872年在其著名的埃尔朗根纲领中指出,几何的分类可以通过无限连续变换群来进行。克莱因和(J.-)H.庞加莱在对 "自守函数”的研究中曾用到其他类型的无限群(即离散群不连续群)。在1870年前后,索菲斯·李开始研究连续变换群解析变换李群,用来阐明微分方程的解,并将它们分类。这无限变换群的理论成为导致抽象群论产生的第三个主要来源

   A.凯莱于1849年、 1854年和 1878年发表的论文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗罗贝尼乌斯于1879年和E.内托于1882年以及W.F.A.von迪克于 1882~1883年的工作也推进了这方面认识。19世纪80年代,综合上述三个主要来源,数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理系统,大约在1890年已得到公认。20世纪初,E.V.亨廷顿,E.H.莫尔,L.E.迪克森等都给出过抽象群的种种独立公理系统,这些公理系统和现代的定义一致

  在1896~1911年期间,W.伯恩赛德的“有限群论”先后两版,颇多增益。G.弗罗贝尼乌斯、W.伯恩赛德、I.舒尔建立起有限群的矩阵表示论后,有限群论已然形成。无限群论在20世纪初,也有专著,如1916年Ο.ю.施米特的著作。群论的发展导致20世纪30年代抽象代数学的兴起。尤其是近30年来,有限群论取得了巨大的进展,1981年初,有限单群分类问题的完全解决是一个突出的成果。与此同时,无限群论也有快速的进展

  时至今日,群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用,还形成了一些新学科如拓扑群李群代数群算术群等,它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等,并在结晶学、理论物理、量子化学以至(代数)编码学、自动机理论等方面,都有重要的应用。作为推广“群”的概念的产物:半群幺半群理论及对计算机科学和对算子理论的应用,也有很大的发展。群论的计算机方法和程序的研究,已在迅速地发展

——bia度百科

应用

  • 加法乘法群

  两个有意思的群:

来自3Blue1Brown的神仙

翻译:Solara570

  接着引入了复数:

  对于乘法运算,可以建立一种类似的模型:

  接着引入了复数:

  • 有限群的特殊性质

  有一个有限集G,在上面规定一个运算""

  随机挑一个元素x,不管它在不在集合内

  执行下面的操作:

    找一个起始元素y1,规定yi=(yi-1x),且保证yi一定是有限集G中的元素

    不断计算yi

    总会有某次计算得到的结果等于y1,即出现循环

 

  证明:

    ①有限集

    ②参与计算的起始元素以及计算得到的新元素总在有限集内

    显然成立

(不会证呃呃呃,但是问过某神仙,是对的)

 

  例子:

    魔方

      详见已复原的任何魔方,一直重复做某个有规律的转动方式,最后可以还原是真的吗

      (https://zhidao.baidu.com/question/1832989085122058020.html)

    有限循环群

      某种伪随机数,比如Pollard's Rho算法中为了防止大量重复随机数造成退化而使用的

      以及下面要证明的mod n的简化剩余系关于mod n的乘法封闭

 

  • 有限循环群/同余定理

同余定理

  给定一个正整数m,如果两个整数ab满足a-b能够被m整除,即(a-b)/m得到一个整数,那么就称整数ab对模m同余,记作a ≡ b (mod m)

  对模m同余是整数的一个等价关系

——bia度百科

剩余类

  设模为n,则根据余数可将所有的整数分为n类,把所有与整数an同余的整数构成的集合叫做模n的一个剩余类,记作[a],并把a叫作剩余类[a]的一个代表元

——bia度百科

剩余系
  所谓“剩余系”,就是指对于某一个特定的正整数n,一个整数集中的数模n所得的余数域
  如果一个剩余系中包含了这个正整数所有可能的余数(一般地,对于任意正整数n,有n个余数:0,1,2,...,n-1),那么就被称为是模n的一个完全剩余系
  在与模n互素的全体剩余类中,从每一个类中各任取一个数作为代表组成的集合,叫做模n的一个简化剩余系,大小为φ(n)  (详见[◹]欧拉定理)
——bia度百科

  mod n的完全剩余系关于mod n乘法封闭

  (见上面说的群的封闭性)

 

  而相似的,mod n的简化剩余系也一定关于mod n的乘法封闭

    mod n的简化剩余系中随意选出来两个剩余类ab,则ab都和n互质

    所以a*b也与n互质,a*b mod n也与n互质

    所以a*b mod n在mod n的简化剩余系中

 

  加法循环节

   mod n的有限循环群,显然,加法循环节长度为n

 

 

  指数循环节

  ①当底数与模数互质

  根据[◹]欧拉定理aφ(n) ≡ 1 (MOD n),则显然,当a与n互质时,指数的一个周期长度为φ(n),但不一定是最小正周期

 

  ②当底数不一定与模数互质

  当正整数b>=n

   ab ≡ ab%φ(n)+φ(n) (mod n)

  指数的一个周期长度为也为φ(n),也不一定为最小正周期

  证明:

——https://blog.csdn.net/guoshiyuan484/article/details/78776739

抽屉原理

  假如有n+1个元素放到n个集合中去,其中必定有一个集合里至少有两个元素

  举个例子:

 

posted @ 2019-01-18 22:39  Antigonae  阅读(1356)  评论(0编辑  收藏  举报