初探费马-欧拉定理

写在前面:

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目录

  1. 费马小定理

  2. 简化幂的模运算

  3. 群论

 

 

结论

  在数论中,欧拉定理(也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质

  欧拉定理表明,若n,a为正整数,且n,a互质,则: aφ(n) ≡ 1 (MOD n)

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欧拉函数

  在数论,对正整数n>1,欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目(φ(1)=1)

(其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数)

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欧拉函数五个性质

 

 

 

证明

   (某一种证法,需要了解一下[◹]同余定理里面的同余类,剩余类,简化剩余类)

  将1~n中与n互质的数按顺序排布:x1,x2……xφ(n),显然,共有φ(n)个数

  我们考虑这么一些数:

    m1 == a*x1

    m2 == a*x2

    m3 == a*x3

    ……

    mφ(n) == a*xφ(n)

  ①这些数中的任意两个都不模n同余,因为如果有mS ≡ mR (mod n) (这里假定mS更大一些),就有:

mS-mR == a(xS-xR) == qn

    即n能整除a(xS-xR)

    但是a与n互质,a与n的最大公因子是1,而xS-xR<n,因而左式不可能被n整除

    也就是说这些数中的任意两个都不模n同余,φ(n)个数有φ(n)种余数

  ②这些数除n的余数都与n互质,因为如果余数与n有公因子r,那么

a*xi == pn+qr == r(……)  a*xi与n不互质

    而这是不可能的

    那么这些数除n的余数,都在x1,x2,x3……xφ(n)中,因为这是1~n中与n互质的所有数,而余数又小于n

  由①和②可知,数m1,m2,m3……mφ(n)(如果将其次序重新排列)必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n)

  故得出:m1*m2*m3……*mφ(n) ≡ x1*x2*x3……*xφ(n) (mod n)

此处证明可见[◹]线性同余方程组中的可乘性

  或者说aφ(n)*(x1*x2*x3……*xφ(n)) ≡ x1*x2*x3……*xφ(n) (mod n)

  或者为了方便:K{aφ(n)-1} ≡ 0 ( mod n ) 这里K=x1*x2*x3……*xφ(n)

  可知K{aφ(n)-1}被n整除,但K中的因子x1,x2……都与n互质,所以K与n互质

  那么aφ(n)-1必须能被n整除,即aφ(n)-1 ≡ 0 (mod n),即aφ(n) ≡ 1 (mod n),得证

——bia度百科

 

拓展

  • 费马小定理

ap-1 ≡ 1 (MOD p)  (p为素数,ap互素)

  证明:

    据欧拉定理,有aφ(n) ≡ 1 (MOD n)

    当n为素数时,有φ(n) == n-1

    即an-1 ≡ 1 (MOD n)  (n为素数)

  费马小定理常应用于有关素数的问题

 

  • 简化幂的模运算

  如计算7222的个位数,实际是求7222被10除的余数

  7和10互素,且φ(10)=4

  由欧拉定理知74 Ξ 1 (MOD 10)

  所以7222 == (74)55 * (72) Ξ 155 * 72 Ξ 49 Ξ 9 (mod 10)

 

  • 群论

  欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群(即环 Z/nZ的所有单位元组成的乘法群)的阶

  [◹]初等群论

  毕竟aφ(n) ≡ 1 (MOD n),则aφ(n)是mod n群里面的单位元

  欧拉定理也指出了,当a与n互素时,a的指数的一个周期长度为φ(n),但不一定是最小正周期

 

posted @ 2018-12-16 00:26  Antigonae  阅读(1896)  评论(0编辑  收藏  举报