组合class

集合容斥：

硬币购物

方程

城市规划

子集反演

小星星
CF1466H

二项式反演

\[f(n) = \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g(i) \Leftrightarrow g(n) = \sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i) \]

其中 \(f\) 为恰好，\(g\)为至多。（可以用于随便选）

\[f(n) = \sum_{i=n}^m\binom{i}{n}g(i) \Leftrightarrow g(n) = \sum_{i=n}^m(-1)^{i-n}\binom{i}{n}f(i) \]

其中 \(f\) 为恰好，\(g\)为至少。（固定 \(x\) 个，剩余任选）

错排

游戏
已经没有什么好害怕的了
唱、跳、rap和篮球
猎人杀
uoj390
P5405

莫比乌斯反演

\[f(n) = \sum_{d|n}g(d) \Leftrightarrow g(n) = \sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d) \]

\[I(d) = 1, \varepsilon(d) = [d=0], id(d) = d \]

\[\mu * I = \varepsilon \]

\[\phi * I = id \]

求长度为 \(n\) 且仅包含小写英文字母且最短循环节长度恰为 \(n\) 的字符串的个数。

狄利克雷前缀和/差分/后缀和/差分
gcd 卷积

\(\text{Min}-\text{Max}\) 容斥

\[\max(S) = \sum_{T \in S}(-1)^{|T|+1}\min(T) \]

\[\min(S) = \sum_{T \in S}(-1)^{|T|+1}\max(T) \]

\[E(\max(S)) = \sum_{T \in S}(-1)^{|T|+1}E(\min(T)) \]

\[E(\min(S)) = \sum_{T \in S}(-1)^{|T|+1}E(\max(T)) \]

\[\text{kth}-\max(S)=\sum_{T \in S} (-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T) \]

\[E(\text{kth}-\max(S))=\sum_{T \in S} (-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}E(\min(T)) \]

\[\text{kth}-\min(S)=\sum_{T \in S} (-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\max(T) \]

\[E(\text{kth}-\min(S))=\sum_{T \in S} (-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}E(\max(T)) \]

有一个大小为 \(n*m\) 的棋盘，每次随机染黑一个位置（可能染已经被染黑的位置），当某一行或者一列全为黑色时停止，求期望染色次数。