【NOTE】Part 1

目录

• Part 1
  • • 抽屉原理
    • 网址合集
    • 单调队列优化\(\text{DP}\)
    • Slope Trick，解决一类凸代价函数的DP优化问题
    • 重复组合
    • 并查集，以[NOI2001] 食物链为例
    • 斜率优化
    • 斜率优化再来一篇
    • 线段树技巧。开个坑（
    • （没有链接的）概率与数学期望
    • 线段树优化建图

Part 1

• 抽屉原理
• 单调队列优化dp
• 斜率优化dp
• 重复组合数
• 并查集的扩展域与边带权
• 线段树优化建图
• 坑塌了的错位相减法与数列求和

我想记录一下最近在看什么（？

抽屉原理

抽屉原理：

• （第一抽屉原理）把\(n\)个元素分为\(k\)个集合，其中至少存在一个大小\([n/k]\)的集合（\([]\)表示下取整）

• 把\(q_1+q_2+\cdots+q_n-n+1\)个元素分为\(n\)个集合，其中至少存在一个集合\(A_i\)满足\(A_i\)的大小不小于\(q_i\)

• （第一抽屉原理）把\(nm+1\)个元素分为\(n\)个集合，其中至少存在一个大小不小于\((m+1)\)的集合

• （第二抽屉原理）把\(nm-1\)个元素分为\(n\)个集合，其中至少存在一个大小不大于\((m-1)\)的集合

证明用的是反证法。

网址合集

单调队列优化\(\text{DP}\)

Slope Trick，解决一类凸代价函数的DP优化问题

重复组合

从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个可重复元素的方案数，记作\(H_{n}^m\)，则有

\[H_n^m=C_{n+m-1}^m \]

并查集，以[NOI2001] 食物链为例

• 扩展域

  我理解上把这题的每个元素（动物）的关系当成一个环：

  自己->猎物->猎物的猎物（天敌）->天敌的猎物（自己）

  就是一个关系均等的三元环。

  关系的合并可以看作是该三元环旋转相叠的过程。

  而这个相叠就是用并查集维护

• 边带权

  边带权用来处理类似区间和可以转化为前缀和之差这样的，可以把与父亲节点的关系传递转化为与祖先关系的关系。

  在一棵并查集树中，所有点到祖先的关系都可以代表互相的关系。（前缀和之差为区间和）

  而这个题可以定义的一种可传递关系，定义同类为\(0\),猎物为\(1\)，天敌为\(2\)，可满足的传递关系则是在\(mod\ 3\)意义下的“前缀和”。

  同时也可以满足，在一棵并查集树中，所有点到祖先的关系都可以代表互相的关系。-w-

斜率优化

以[HNOI2008]玩具装箱为例

设\(f[i]\)表示装箱前i个玩具的最小费用。则有

\[f[i]=min(f[j]+(i−j-1+P[i]-P[j]-L)^2) \]

考虑去优化一个\(\text{DP}\)的时候，可以尝试把转移中的单值相关定量分在一起。

暂时写作：

\[f[i]=\color{magenta}{f[j]}\color{black}+( \color{orangered}{P[i]+i}\color{royalblue}{-P[j]−j-L-1}\color{black})^2 \]

令\(\color{orangered}{A={P[i]+i}}\)，\(\color{royalblue}{B=P[j]+j+L+1}\)，\(\color{magenta}{C=f[j]}\)

则\(f[i]=C+(A-B)^2\)

然后展开，整理：

\[f[i]=C+A^2-2A \cdot B+B^2 \]

构造斜率是与\(\text{i}\)相关的定量，过关于\(\text{j}\)定点的直线方程：

\[C+B^2=2A \cdot B+f[i]-A^2 \]

特性：\(2A\)（斜率）单调递增；要求\(f[i]\)最小，即使得\(f[i]-A^2\)（纵截距）最小；每个j相关的直线都过定点\((B,C+B^2)\)

满足这些特性，我们就可以维护一个凸包。

比如有这些点，那么我就可以直接弹出B。

每次确定答案的转移位置，也可以弹掉前面的元素了（

显然是可以单调队列解决的！

斜率优化再来一篇

不过好像是...因为这题满足斜率（\(k(i)\)）单调递增，所以可以使用单调队列。

如果斜率不满足单调递增，是可以二分解决的（？

\(\text{Tips:}\)

  1.可能爆精度。使用交叉相乘比较斜率以防止爆精度;
  2.单调队列大小边界是1;
  3.斜率k(i)不单调请使用二分而非单调队列;
  4.要从0转移。

线段树技巧。开个坑（

（没有链接的）概率与数学期望

看过数学课本后的认知，我们研究随机试验\(E\)，可能的每个结果称为样本点，样本点组成的集合称作样本空间。样本空间的实质是集合，我们把样本点的概率作为这个集合元素（样本点）的特征，也可以对概率作类似求补集，容斥一样的计算。

数学期望：随机变量\(X\)的数学期望\(E(X)\)等于其所有可能值按照概率加权的和。

随机变量：表示随机试验各种结果的实值单值函数。随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。

全概率公式：把样本空间分成不相交的事件空间\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)，设\(A|B\)表示事件\(A\)在事件\(B\)的部分，\(P(A|B)\)就表示在事件\(B\)发生的条件下，事件\(A\)发生的概率，则：

\[P(A)=P(B_1) \times P(A|B_1) + P(B_2) \times P(A|B_2) + \cdots + P(B_n)\times P(A|B_n) \]

全期望公式：

\(E(A)=P(B_1) \times E(A|B_1) + P(B_2) \times E(A|B_2) + \cdots + P(B_n)\times E(A|B_n)\)

例题：

UVa 11427 Expect the Expected

每天的情况互相独立，于是我们可以先研究单独一天的情况。

设\(d_{i,j}\)表示前\(i\)局，每局结束的获胜比例都未超过p，获胜了\(j\)局的概率。则有\(d_{i,j}=d_{i-1,j}\times(1-p)+d_{i-1,j-1}\times p \ \ (\frac{j}{i}\leq p)\)

然后就能得到，只玩一个晚上的概率\(Q=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}d_{n,i}\)

需要自我明确强调的是，期望的单位与样本点相同

解法1：

天数\(X=1\)的概率为\(Q\)；

天数\(X=2\)的概率为\(Q(1-Q)\);

\(\cdots\)

天数\(X=i\)的概率为\(Q(1-Q)^i\)

\(\cdots\)

那么

\[e=Q+2Q(1-Q)+\cdots+iQ(1-Q)^{i-1}\cdots \]

关于这个无穷级数的求和，我忘了怎么求了x

应该是数列那一块的知识...看起来是等差乘等比型的无穷级数求和。

复习一下错位相减法吧 : )

设数列\({\{a_n=(nA+b)C^n}\}\)

（塌坑待补）

线段树优化建图

简单运用于向某个区间的点建边。