[线段树系列] 线段树优化建图

这一篇讲线段树优化建图。

发现网上关于线段树优化建图的博客很少而且讲的不是很详细，很多人会看得比较懵。

于是原本这一篇打算讲树链剖分的就改成讲优化建图了。

前置知识：动态开点线段树

看到标题你可能会感觉奇怪，线段树和建图有什么关系？

事实上，线段树优化建图就是利用两棵线段树，减少连边数量，达到降低复杂度的目的。

听起来好像很神奇，其实实现非常简单。

我们来看这一道题：CF786B-Legacy

题目描述比较长，我就不打出来了，这里给出题目概述：

有n个点，q个询问，每次询问给出一个操作。

操作1：1 u v w，从u向v连一条权值为w的有向边

操作2：2 u l r w，从u向区间[l,r]的所有点连一条权值为w的有向边

操作3：3 u l r w，从区间[l,r]的所有点连一条权值为w的有向边

连完边后跑一遍最短路就好了。

首先考虑暴力连边，复杂度肯定是O(n^2)的，显然不行。

然后我们看到了“区间”，“[l,r]”这种东西，肯定就会往数据结构上面想。

看到博客的标题就明白，肯定是用线段树解决了。废话

接下来讲实现。

我们考虑用两棵线段树来搞，建两棵线段树，一棵处理入边，一棵处理出边。

方便起见，我们下文称其为入树和出树。

开始我们让父亲和儿子连边，然后我们再让入树和出树的叶子节点之间连上边权为0的边。

建出来的图大概长这样：

 

这图画得累死我了，画图真难用

还是看不懂的就看代码吧：

 

void buildOut(int &o,int l,int r){//建出树
    if(l==r){
        o=l;return;//已经是子节点,直接赋值 
    }
　　 o=++ncnt;
    int mid=(l+r)>>1;
    buildOut(lc[o],l,mid);buildOut(rc[o],mid+1,r);
    addedge(o,lc[o],0);//从o向o的左右子树连一条权值为0的有向边
    addedge(o,rc[o],0); 
}

 

void buildIn(int &o,int l,int r){//建入树
    if(l==r){
        o=l;return;//已经是子节点，直接赋值
    }
    o=++ncnt;//开新点
    int mid=(l+r)>>1;
    buildIn(lc[o],l,mid);buildIn(rc[o],mid+1,r);//递归建树
    addedge(lc[o],o,0);//从o的左右子树向o连一条权值为0的有向边 
    addedge(rc[o],o,0);
}

至此，线段树就建好了。

现在我们需要用update操作来连边。

我们首先定义修改区间为[L,R]，我们有两种操作( 2和3 )。

类似区间修改操作，如果当前区间被[L,R]涵盖，我们就连边。

注意根据操作要求连边，不要连反了。

给出这一部分的代码：

 

void update(int o,int l,int r,int f,int val,short type){
    if(L<=l && R>=r){//被涵盖
        type==2?addedge(f,o,val):addedge(o,f,val);//如果是操作2就往区间连边，如果是操作3就往点连边
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(L<=mid)update(lc[o],l,mid,f,val,type);
    if(R>mid)update(rc[o],mid+1,r,f,val,type);//递归连边
}

 

接下来写一个最短路，由于题目说明了1<=w<=1e9，所以我们选择dijkstra算法求最短路。

不清楚堆优化的dijkstra算法的朋友可以找相关博客学习。

我这里就不再赘述，现在给出最后的程序。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100010
#define M 300010
#define LOG 20
typedef int mainint;
#define int long long
using namespace std;
int head[M],lc[M*LOG],rc[M*LOG],tot,ncnt;
int n,m,s,rt1,rt2;
struct Edge{
    int nxt,to,val;
    #define nxt(x) e[x].nxt
    #define to(x) e[x].to
    #define val(x) e[x].val
}e[N*LOG];
inline void addedge(int f,int t,int val){
    nxt(++tot)=head[f];to(tot)=t;val(tot)=val;head[f]=tot;
}
void buildOut(int &o,int l,int r){//建出树 
    if(l==r){
        o=l;return;//已经是子节点,直接赋值 
    }o=++ncnt;
    int mid=(l+r)>>1;
    buildOut(lc[o],l,mid);buildOut(rc[o],mid+1,r);
    addedge(o,lc[o],0);//从o向o的左右子树连一条权值为0的有向边
    addedge(o,rc[o],0); 
}
void buildIn(int &o,int l,int r){//建入树 
    if(l==r){
        o=l;return;
    }
    o=++ncnt;
    int mid=(l+r)>>1;
    buildIn(lc[o],l,mid);buildIn(rc[o],mid+1,r);
    addedge(lc[o],o,0);//从o向o的左右子树连一条权值为0的有向边 
    addedge(rc[o],o,0);
}
int L,R;
void update(int o,int l,int r,int f,int val,short type){
    if(L<=l && R>=r){
        type==2?addedge(f,o,val):addedge(o,f,val);
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(L<=mid)update(lc[o],l,mid,f,val,type);
    if(R>mid)update(rc[o],mid+1,r,f,val,type);
}
const int inf=0x7fffffffffffffff;
int dis[M];
priority_queue< pair<int,int> > q;
int vis[M];
void dijkstra(int s){
    for(int i=1;i<=M;i++)dis[i]=inf,vis[i]=0;
    dis[s]=0;q.push(make_pair(0,s));
    while(q.size()){
        int x=q.top().second;q.pop();
        if(vis[x])continue;
        vis[x]=1;
        for(int i=head[x];i;i=nxt(i)){
            int y=to(i),z=val(i);
            if(!vis[y]&&dis[y]>dis[x]+z){
                dis[y]=dis[x]+z;
                q.push(make_pair(-dis[y],y));
            }
        }
    }
}
inline int read(){
    int data=0,w=1;char ch=0;
    while(ch!='-' && (ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
mainint main(){
    n=read();m=read();s=read();
    ncnt=n;//建边要求,线段树节点从n+1开始编号 
    buildOut(rt1,1,n);buildIn(rt2,1,n);
    while(m--){
        int opt,f,t,val;
        opt=read();
        if(opt==1){
            f=read();t=read();val=read();
            addedge(f,t,val);//上面对叶子节点已经处理了,直接连边 
        }else{
            f=read();L=read();R=read();val=read();
            update(opt==2?rt1:rt2,1,n,f,val,opt);
        }
    }
    dijkstra(s);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%lld ",dis[i]<inf?dis[i]:-1);
    return 0;
}

注意我用了#define int long long，这其实不是一个好习惯，只是我比较懒

那么这篇博客到这里就结束了，线段树系列将停更一段时间( 很短 )。

接下来我会更新一些其它数据结构、算法还有图论的博客。

撰文不易，希望能帮到各位。求点赞求关注QuQ。