洛谷P1439 【模板】最长公共子序列

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题目描述

给出 \(1,2,\ldots,n\) 的两个排列 \(P_1\) 和 \(P_2\)，求它们的最长公共子序列。

输入格式

第一行是一个数 \(n\)。

接下来两行，每行为 \(n\) 个数，为自然数 \(1,2,\ldots,n\) 的一个排列。

输出格式

一个数，即最长公共子序列的长度。

输入输出样例

输入 #1

5 
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

输出 #1

3

说明/提示

• 对于 \(50%\) 的数据， \(n \le 10^3\)；

• 对于 \(100%\) 的数据，\(n \le 10^5\)。

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50tps

50分的做法就是LCS ^[1] 的模板了。

比如求a数组和b数组的LCS：

设\(dp[i][j]\)为a的前\(i\)位和b的前\(j\)位的LCS的长度。

状态转移方程很好想出来，即：

当a[i] == b[j]时，就说明a[i]和b[j]相等了，既然a[i]和b[j]相等了，那这个状态肯定与dp[i-1][j-1]这个情况有关系，所以这个情况状态的状态转移方程是\(dp[i - 1][j - 1] + 1\)
其他情况，即无法更新公共元素，考虑继承已经算过的：

\(dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−1])\)

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1005
int a[MAXN], b[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &b[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(a[i] == b[j])
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            else
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
    printf("%d\n", dp[n][n]);
    return 0;
}

亲测50tps

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所以我们得加优化。

再来认真读读题：

给出 \(1,2,\ldots,n\) 的两个排列 \(P_1\) 和 \(P_2\)，求它们的最长公共子序列。

排列的意思就是指\(P_1\)里面任意两个数都不相等，利用这点，我们就可以把他转成一个LIS。

因为LCS是按位的、有顺序的，所以我们就可以直接保证选中的顺序是一样的就行了。

比如：

3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

把\(P_1\)的数在\(P_2\)的那个位置写出来，即:

3 2 1 4 5

那他的LIS长度就是3了。

然后LIS就可以二分优化了，就不罗嗦了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100005
int a[MAXN], b[MAXN];
int m[MAXN], dp[MAXN];
int main()
{
	int n;
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &b[i]);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
        m[a[i]] = i;
	int L = 0;
	dp[0] = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int l = 0, r = L, mid;
		if(m[b[i]] > dp[L])
        {
            L++;
            dp[L] = m[b[i]];
        }
		else 
		{
            while(l < r)
            {	
                mid = (l + r) >> 1;
                if(dp[mid] > m[b[i]])
                    r = mid;
                else
                    l = mid + 1; 
            }
            dp[l] = min(m[b[i]], dp[l]);
     	}
    }
    printf("%d\n", L);
    return 0;
}

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1. 即最长公共子序列的英文缩写。 ↩︎