曲面and曲线积分2

$ 1.计算I=\iint_{\Sigma}\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}，其中\Sigma :z=2-x^2-y^2(z \geq 0)取上侧。$

• \(想用高斯公式，先计算偏导数\)

\[\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}-3x^2(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}}{(x^2+y^2+z^2)^3} \]

\[\frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}-3y^2(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}}{(x^2+y^2+z^2)^3} \]

\[\frac{\partial R}{\partial z}=\frac{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}-3z^2(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}}{(x^2+y^2+z^2)^3} \]

\[\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0 \]

• \(辅助面不能乱作，因为(0,0,0)是奇点。\)
• \(作辅助面\Sigma_0:x^2+y^2+z^2=r^2(z \geq 0)，\Sigma_1:r^2 \leq x^2+y^2 \leq 2,z=0。方向均取上侧。\)

\[I=\iint_{\Sigma-\Sigma_0-\Sigma_1}+\iint_{\Sigma_0}+\iint_{\Sigma_1}=0+I_0+I_1 \]

• \(分别计算\)

\[I_1=0 \]

\[I_0=\iint_{\Sigma_0}(\frac{x}{r^3},\frac{y}{r^3},\frac{z}{r^3}) \cdot (\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r})dS=\frac{1}{r^2} \cdot 2\pi r^2=2\pi \]

\[I=I_1+I_0=2\pi \]

\(2.求I=\oint_L(y^2+z^2)dx+(z^2+x^2)dy+(x^2+y^2)dz，其中L是球面x^2+y^2+z^2=2bx与柱面x^2+y^2=2ax(b>a>0)的交线(z \geq 0)，从z轴往下看，L的方向为逆时针方向。\)

• \(直接上斯托克斯公式\)

\[I=\iint_{\Sigma}\begin{vmatrix}dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R\end{vmatrix}=\iint_{\Sigma}2(y-z)dydz+2(z-x)dzdx+2(x-y)dxdy \]

• \(求一下\Sigma的法向量\)

\[n_x=2(x-b),n_y=2y,n_z=2z \]

• \(\Sigma在xOy的投影比较简单，是D:(x-a)^2+y^2=a^2。所以都搞成dxdy的形式。\)

\[dydz=\frac{n_x}{n_z}dxdy=\frac{x-b}{z}dxdy,dzdx=\frac{n_y}{n_z}dxdy=\frac{y}{z}dxdy \]

\[I=2\iint_D(y-z)\frac{x-b}{z}+(z-x)\frac{y}{z}+(x-y)dxdy=2\iint_D(b-b \cdot \frac{y}{z})dxdy \]

• \(这里\frac{y}{z}这部分积分是0，所以\)

\[I=2\pi a^2 \cdot b=2\pi a^2b \]