LIS LDS 结构 杨表 随机解题报告

QOJ 17424 Increase Decrease（弱化版：ARC091E）

给定每个前缀的 LIS，LDS，构造排列。

每步操作至多使 LIS，LDS 增加 1，且 LIS，LDS 不会同时增加 1。

LIS 增加 1 / LDS 增加 1 容易构造，而 LIS，LDS 都不变时排列长度最多为二者之积，考虑如何卡满这个上界，

可以发现构造这样的杨表形状即可：

为什么必须是杨表形状：

先补齐上面，之后补齐下面时，上面的不会受影响，

而先补齐下面，之后补齐上面时，下面的也会接上去：

所以这样一定卡不满上界。

所以只能先补上面再补下面，自然形成杨表形状。

QOJ 18131 Rounddog

给定排列，对每个前缀问，最多能在这个前缀后加多少个实数使 LIS，LDS 均不变。

这我都会？？？

先尝试套用一下上一个题的杨表结构，在 LDS 的每一项后面接和 LIS 一样长的上升子序列，然后就被样例卡了，

关键问题在于这题的排列不是自己构造的杨表形状。

但感受一下，在 LDS 上挂 IS 的策略大概率还是对的，不妨考虑到底能挂多少 IS。

先考虑在 LDS 的最后一位上挂，首先这个最后一位一定是 LDS 的最大结尾，不然 LDS 会变长：

那这个 IS 可以和 LIS 一样长吗？可以发现也是不行的，

设 LDS 的最后一位为 \(x\)，结尾 \(\le x\) 的 IS 最长为 \(k\)，则在 \(x\) 后挂的 IS 长度不能超过 LIS - k：

也就是说，维护 \(f_i\) 表示长度为 \(i\) 的 IS 的最小结尾（\(f\) 就是贪心求 LIS 时维护的数组，也是杨表的第一行），

则 \(k\) 即为 \(f\) 中 \(\le x\) 的数的个数，\(x\) 后挂的 IS 长度 LIS - k 即为 \(f\) 中 \(>x\) 的数的个数。

再考虑 LDS 倒数第二位，先考虑以下应该在【LDS 的最大倒数第二位】还是【长度为 LDS - 1 的 DS 的最大结尾】后面接，

可以发现应该是后者，不然 LDS 会变长：

同理，设长度为 LDS - 1 的 DS 的最大结尾为 \(y\)，则 \(y\) 后挂的 IS 长度即为 \(f\) 中 \(>y\) 的数的个数，

以此类推，我们可以在每个【长度为 \(i\) 的 DS 的最大结尾】后挂 IS，设 \(g_i\) 表示长度为 \(i\) 的 DS 的最大结尾（\(g\) 与 \(f\) 维护方法相同），

则 \(g_i\) 后挂的 IS 长度即为 \(f\) 中大于 \(g_i\) 的数的个数，答案即为 \((i,j)|g_i<f_j\) 的个数。

考虑对每个前缀算答案，每次算下一个前缀时只需要对 \(f,g\) 单点修改，权值树状数组维护即可。