保留节目

你是一个纯纯的 whker，名字叫 5k，这天你的退役 oier 同学 k5 在打 abc 时不会 G，向你求助。

你定睛一看：

G - Accumulation of Wealth

给定 \(n,p\)，开局一个 \(1\)，每次 \(p\) 概率加一个 \(\max+1\)，\(1-p\) 概率随机复制一个数，

做 \(n-1\) 次，对 \(k\in[1,n]\) 求 \(k\) 期望出现次数。模 \(998244353\)。

根据你的 whk 经验，概率期望题一般都比较简单，所以尽管你看不懂模 \(998244353\) 是什么意思，你还是尝试做了一下：

首先你回想起老师说过，求期望先求分布列，但是在 1 纳秒的毛估估后你发现这句话纯属放 p，

你想起了某年高考题的材料：

（k5 说这个是期望线性性的弱化版，但是这个词一听就很深奥，所以你摆了）

你发现，设 \(X_i=0/1\) 表示 \(k\) 是否在 \(i\) 位置出现，然后就只需要求 \(E\left(\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)=\sum\limits_{i=1}^nq_i\) 辣！

（k5 说没必要写的上下标可以不写，但是为了防止被扣过程分你还是写上了）

\(q_i\) 怎么求呢？你发现 \(k\) 要么是操作 \(1\) 加入的，要么是操作 \(2\) 加入的，所以你很快想到了全概率公式：

\[q_i=P(X_i=1)=P(\text{进行操作 1})P(\text{之前 max=k-1}\mid\text{进行操作 1})+P(\text{进行操作 2})P(\text{随机选到 k}\mid\text{进行操作 2}) \]

而 \(P(\text{进行操作 1})=p,P(\text{进行操作 2})=1-p,P(\text{随机选到 k}\mid\text{进行操作 2})=E\left(\sum\limits_{j=1}^{i-1}X_j\right)/(i-1)=\left(\sum\limits_{j=1}^{i-1}q_j\right)/(i-1)\)，

不知道的就只有 \(P(\text{之前 max=k-1}\mid\text{进行操作 1})\) 了，这显然独立所以它就是 \(P(\text{之前 max=k-1})\)，

你发现这就是说前 \(i-2\) 次操作中有 \(k-2\) 个操作 \(1\)，这不是我们二项分布吗，所以：

\[P(\text{之前 max=k-1})=C_{i-2}^{k-2}p^{k-2}(1-p)^{i-k} \]

（k5 已经无力吐槽你的符号了……）

所以 \(q_i\) 满足：

\[q_1=\begin{cases}1&k=1\\0&k\ne 1\end{cases},q_i=pC_{i-2}^{k-2}p^{k-2}(1-p)^{i-k}+(1-p)\left(\sum\limits_{j=1}^{i-1}q_j\right)/(i-1) \]

然后答案是 \(\sum\limits_{i=1}^nq_i\)。

你发现概率期望题经典地变成了数列题，但是能解出这个数列的也是神人了，所以你选择把它直接展开：

\[\sum\limits_{i=1}^nq_i=\begin{cases}\dfrac{(2-p)(3-p)\cdots(n-p)}{1\times 2\times\cdots\times(n-1)}&k=1\\\sum\limits_{i=2}^npC_{i-2}^{k-2}p^{k-2}(1-p)^{i-k}\dfrac{(i+1-p)(i+2-p)\cdots(n-p)}{i(i+1)\cdots(n-1)}&k\ne 1\end{cases} \]

你觉得计算机应该可以轻松算出这个式子，所以你把它发给了 k5，

但是 k5 说 \(n\le 10^5\)，你这个是 \(O(n^2)\) 的，肯定过不了，

虽然没听懂他在说什么，你还是继续观察式子：

\[\begin{aligned} \sum\limits_{i=2}^npC_{i-2}^{k-2}p^{k-2}(1-p)^{i-k}\dfrac{(i+1-p)(i+2-p)\cdots(n-p)}{i(i+1)\cdots(n-1)}\\ =\dfrac{p^{k-1}(1-p)^{-k}}{(k-2)!}\sum\limits_{i=2}^n\dfrac{(i-2)!}{(i-k)!}(1-p)^i\dfrac{(i+1-p)(i+2-p)\cdots(n-p)}{i(i+1)\cdots(n-1)} \end{aligned} \]

你发现这样 \(\sum\) 里面只有 \(\dfrac 1{(i-k)!}\) 和 \(k\) 有关，而其他的只与 \(i\) 有关，

这样问题就变成了给定两个数列 \(a,b\)，对 \(k\in[2,n]\) 求 \(\sum\limits_{i-j=k}a_ib_j\)，但是你不会做。

然后 k5 说这是差卷积，于是他贺了份 FFT 通过了此题。

哦他还因为 \(1-p=0,i-k=0\) 时 \((1-p)^{i-k}\ne(1-p)^i(1-p)^{-k}\) 挂了一发。

https://atcoder.jp/contests/abc409/submissions/66614622

这神人题解快给我写吐了……我们 whk 的答题规范真的是太规范了