AT4539 题解

题意：给定一张有向简单图，求长度为 $K$ 的路径条数。

思路

考虑 DP。设 $f_{i,j,x}$ 为 $i\to j$ 且长度为 $x$ 的路径条数。

考虑枚举中间点。根据乘法原理，显然有 $f_{i,j,x}=\sum\limits_{k=1}^nf_{i,k,x-1}\times f_{k,j,1}$。

我们设 $F_x$ 表示 $f_{i,j,x}$ 组成的矩阵，则上式简化为 $F_x=F_{x-1}\times F_1$，即 $F_x=F_1^x$。

用矩阵快速幂维护之。显然地，答案为 $\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nF_{x,i,j}$。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define M 1000000007
#define F(x) for(int x = 1;x <= n;++x)
int n;long long k, s;struct S
{
    long long a[55][55];S() {memset(a, 0, sizeof a);}S operator*(S b) {S c;
    F(k) F(i) F(j) (c.a[i][j] += a[i][k] * b.a[k][j] % M) %= M;return c;}
}a, q;
int main()
{
    scanf("%d%lld", &n, &k);F(i) {q.a[i][i] = 1;F(j) scanf("%lld", &a.a[i][j]);}for(;k;k >>= 1)
    {if(k & 1) q = q * a;a = a * a;}F(i) F(j) (s += q.a[i][j]) %= M;return printf("%lld", s), 0;
}