第二十一次

A

设 $f_{i,j}$ 表示填了前 $i$ 个数，这些数形成 $j$ 段的方案数，考虑第 $i$ 个数填在哪里：

• $i\ne s,i\ne t$：

  • $i$ 单独形成一段：本来有 $j-1$ 段，$i>s$ 则不能放在最前面，$i>t$ 则不能放在最后面，则 $i$ 有 $j-[i>s]-[i>t]$ 种插入位置，共 $(j-[i>s]-[i>t])\times f_{i-1,j-1}$ 种方案。
  • $i$ 合并相邻的两段：本来有 $j+1$ 段，则 $i$ 有 $j$ 种插入位置，共 $j\times f_{i-1,j+1}$

• $\text{otherwise}$：

  • $i$ 单独形成一段：本来有 $j-1$ 段，$i$ 只能放在最前面或最后面，共 $f_{i-1,j-1}$ 种方案。
  • $i$ 接在最前面或最后面：本来有 $j$ 段，$i$ 只能接在最前面或最后面，共 $f_{i-1,j}$ 种方案。

分别转移即可。

B

边 $i\to j$ 存在，当且仅当 $i$ 买书后 $j$ 也会买，

发现去重后连出的图一定是 DAG，所以只需要让入度为零的人买书，问题变为统计每个点的入度。

$x_i\ge x_j$ 时边 $i\to j$ 存在，当且仅当 $e_i-x_i\ge e_j-x_j$，则 $j$ 的，来自 $x_i\ge x_j$ 的 $i$ 的入度为 $x_i\ge x_j,e_i-x_i\ge e_j-x_j$ 的 $i$ 的个数，二维数点即可。

$x_i\le x_j$ 时边 $i\to j$ 存在，当且仅当 $e_i+x_i\ge e_j+x_j$，则 $j$ 的，来自 $x_i\le x_j$ 的 $i$ 的入度为 $x_i\le x_j,e_i+x_i\ge e_j+x_j$ 的 $i$ 的个数，二维数点即可。

C

圆上任意四点形成一个交点，所以交点个数为 $n\choose 4$。

本来有 ${n\choose 2}+n$ 条边（任意两点之间形成一条边，圆上 $n$ 条边），

每个交点会多形成两条边，所以总共有 $2{n\choose 4}+{n\choose 2}+n$ 条边，

则 $|F|=|E|-|V|+2=(2{n\choose 4}+{n\choose 2}+n)-({n\choose 4}+n)+2={n\choose 4}+{n\choose 2}+2$，要减去圆外的一个平面。