基于MATLAB的最小生成树求解

基于MATLAB的最小生成树求解，包含Kruskal算法和Prim算法的完整代码及原理详解：

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一、算法原理与MATLAB实现

1. 核心算法对比

算法	Kruskal	Prim
核心思想	按边权排序，逐步选择不构成环的最小边	从初始节点出发，逐步扩展最小邻边
时间复杂度	O(E log E)	O(V²)（邻接矩阵）
适用场景	稀疏图（边数远小于顶点数²）	稠密图（边数接近顶点数²）

2. 基础实现代码（Kruskal算法）

% 定义图结构（节点数7）
s = ;  % 边起点
t = ;  % 边终点
w = ;  % 边权重
names = {'1','2','3','4','5','6','7'};  % 节点名称

% 创建图对象
G = graph(s,t,w,names);

% 绘制原始图
figure;
p = plot(G, "EdgeLabel", G.Edges.Weight, 'Layout', 'circle');
title('原始网络拓扑');

% 计算最小生成树（Kruskal算法）
T = minspantree(G, 'Method', 'sparse');

% 高亮显示生成树
highlight(p, T, 'EdgeColor', 'r', 'LineWidth', 2);
legend('原始边', '最小生成树边');

3. 扩展实现代码（Prim算法）

% 使用Prim算法计算最小生成树
T_prim = minspantree(G, 'Method', 'dense');

% 绘制对比结果
figure;
subplot(1,2,1);
plot(G, "EdgeLabel", G.Edges.Weight);
title('Kruskal算法结果');
highlight(p, T, 'EdgeColor', 'r');

subplot(1,2,2);
plot(G, "EdgeLabel", G.Edges.Weight);
title('Prim算法结果');
highlight(p, T_prim, 'EdgeColor', 'g');

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二、参数解析

1. 图结构参数

% 节点坐标可视化（可选）
pos = [0.2,0.8; 0.5,0.6; 0.8,0.8; 0.3,0.3; 0.6,0.3; 0.7,0.6; 0.1,0.1](@ref);  % 自定义坐标
plot(G, 'XData', pos(:,1), 'YData', pos(:,2));

2. 算法控制参数

参数	可选值	说明
Method	'sparse'/'dense'	选择Kruskal或Prim算法
Root	节点索引/名称	指定Prim算法的起始节点
Type	'tree'/'forest'	生成单树或多棵生成树（森林）

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三、应用场景示例

1. 电力网络优化

% 生成电网拓扑（6节点）
s = ;
t = ;
w = ;

% 计算最小生成树
T_power = minspantree(graph(s,t,w));
plot(T_power, 'EdgeLabel', T_power.Edges.Weight);
title('电力网络最小生成树');

2. 通信网络设计

% 添加节点位置信息
pos = [0,0; 1,2; 3,1; 4,3; 2,4; 5,0](@ref);
G = graph(s,t,w, 'XData', pos(:,1), 'YData', pos(:,2));

% 3D可视化
figure;
plot(G, 'Layout', 'subspace3d');
highlight(findnode(G,1), 'NodeColor', 'r');

参考代码 用matlab求解最小生成树，并绘制示意图 www.youwenfan.com/contentcnm/81173.html

四、结果分析

1. 算法性能对比

指标	Kruskal算法	Prim算法
时间复杂度	O(E log E)	O(V²)
内存消耗	低	高
适合图类型	稀疏图	稠密图

2. 最小生成树特性验证

% 验证树的性质
disp(['边数: ', num2str(numedges(T))]);  % 应为n-1（n=7时6条边）
disp(['总权重: ', num2str(sum(T.Edges.Weight))]);  % 最小总权重