征解

（我不会）请证明或证伪：对于任意 \(n\)，存在一个在 \(2 \times n\) 的网格中放入 \(1 \sim 2n\) 的数字各一个的方案，使得若两个网格相邻（有公共边），那么它们填入的数字 \(x, y\) 满足 \(\gcd(x, y) = 1\)。

（弱化版，我会）请证明或证伪：对于任意 \(n\)，存在一个在 \(2 \times n\) 的网格中放入 \(1 \sim 2n\) 的数字各一个的方案，使得若两个网格相邻（有公共边），那么它们填入的数字 \(x, y\) 满足 \(\gcd(x, y) = 1\) 或 \(\gcd(x, y) = 5\)。