Schroeder-Bernstein Theorem 证明

\(\text{Schroeder-Bernstein Theorem}\)

定理(Schroeder-Bernstein)：如果有单射 $f : X \to Y $ 和单射 $g : Y \to X $，那么存在着两个集合之间的双射 $\varphi: X \to Y $。

\(\text{Proof}\)

定义：\(h : X \to Y\) 是复合映射 \(h = g \circ f\)。

\(\text{Lemma 1}\)

\(h\) 是单射。

证明：若 \(\exists x_1,x_2 \in X,s.t. x_1 \neq x_2\) 且 \(h(x_1)=h(x_2)\)。则由 \(g\) 是单射知 \(f(x_1)=f(x_2)\)，再由 \(f\) 是单射知 \(x_1=x_2\)（矛盾！），从而 \(h\) 是单射。

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考虑 \(X\) 的子集的集合 \(\mathcal{F}=\{A \subset X \mid \complement_X{g(Y)}\bigcup h(A)\subset A\}\)。首先 \(\mathcal{F}\) 非空，因为 \(X \in \mathcal{F}\)。

\(\text{Lemma 2}\)

\(A \in \mathcal{F}\Rightarrow\complement_X{g(Y)}\bigcup h(A) \in \mathcal{F}\)。

证明：\(\complement_X{g(Y)}\bigcup h(A) \subset X\) 是显然的。而由 \(A \in \mathcal{F}\) 知 \(\complement_X{g(Y)}\bigcup h(A) \subset A\)。所以 \(\complement_X{g(Y)}\bigcup h\left[\complement_X{g(Y)}\bigcup h(A)\right] \subset \complement_X{g(Y)}\bigcup h(A)\)。即 \(\complement_X{g(Y)}\bigcup h(A) \in \mathcal{F}\)。

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我们定义：

\[A_0=\bigcap_{A \in \mathcal{F}}A \]

下面我们有：

\(\text{Lemma 3}\)

\(A_0 \in \mathcal{F}\)，更进一步的：\(\complement_X{g(Y)}\bigcup h(A_0) = A_0\)。

证明：\(A_0 \subset X\) 是显然的，我们只需证明 \(\complement_X{g(Y)}\bigcup h(A_0) = A_0\) 即可。

首先我们证明：

\[h(A_0)=h\left(\bigcap_{A \in \mathcal{F}}A\right)=\bigcap_{A \in \mathcal{F}}h(A) \]

若 \(x \in h\left(\bigcap_{A \in \mathcal{F}}A\right)\) 则 \(\exists y \in \bigcap_{A \in \mathcal{F}}A ，s.t. h(y)=x \Rightarrow \forall A\in \mathcal{F}\) 都有 \(y\in A\) 且 \(x \in h(A) \Rightarrow x\in \bigcap_{A \in \mathcal{F}}h(A) \Rightarrow h\left(\bigcap_{A \in \mathcal{F}}A\right) \subset \bigcap_{A \in \mathcal{F}}h(A)\)。

若 \(x \in \bigcap_{A \in \mathcal{F}}h(A)\) 则 \(\forall A \in \mathcal{F} ，\exists y\in A，s.t. h(y)=x\)。由 \(\text{Lemma 1}\) 可知，对每一个 \(x\)，这样的 \(y\) 是唯一的，故 \(\exists y \in \bigcap_{A \in \mathcal{F}}A， s.t. h(y)=x \Rightarrow x \in h\left(\bigcap_{A \in \mathcal{F}}A\right) \Rightarrow \bigcap_{A \in \mathcal{F}}h(A) \subset h\left(\bigcap_{A \in \mathcal{F}}A\right)\)。

因此 \(h(A_0)=h\left(\bigcap_{A \in \mathcal{F}}A\right)=\bigcap_{A \in \mathcal{F}}h(A) \)，由此带证式子可化为：

\[\complement_X{g(Y)}\bigcup h(A_0)=\complement_X{g(Y)}\bigcup \left[ \bigcap_{A \in \mathcal{F}}h(A) \right]=\bigcap_{A \in \mathcal{F}}\left[ \complement_X{g(Y)}\bigcup h(A) \right] \subset \bigcap_{A \in \mathcal{F}}A=A_0 \]

由 \(\text{Lemma 2}\) 可知，求交集的所有集合均属于 \(\mathcal{F}\)，故：

\[A_0=\bigcap_{A \in \mathcal{F}}A \subset \bigcap_{A \in \mathcal{F}}\left[ \complement_X{g(Y)}\bigcup h(A) \right] \subset \complement_X{g(Y)}\bigcup h(A_0) \]

故 \(\complement_X{g(Y)}\bigcup h(A_0) = A_0\)。

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然而 \(h(A_0) \subset h(X) \subset g(Y)\) 故 \(\complement_X{g(Y)}\bigcup h(A_0)=\varnothing\)，也就是 \(A_0\) 的一个划分。令 \(B_0=\complement_X{A_0}\)，我们定义映射 \(\varphi : X \to Y\) 如下：

\[\varphi(x) = \begin{cases} f(x), & \text{if }x \in A_0; \\ g^{-1}(x), & \text{if }x \in B_0。 \end{cases}\]

\(\text{Lemma 4}\)(证明等价于原命题证毕)

\(\varphi\) 是双射。

证明：先证明定义是良性的，即 \(B_0 \subset g(Y)\)。

\[B_0 \subset g(Y) \Leftrightarrow \complement_X{g(Y)} \subset \complement_X{B_0}\Leftrightarrow \complement_X{g(Y)} \subset A_0 \]

由 \(\text{Lemma 3}\) 这是显然的。

由于 \(f\)，\(g^{-1}\) 都为单射，故只需证明 \(f(A_0) \bigcap g^{-1}(B_0)=\varnothing\) 且 \(f(A_0) \bigcup g^{-1}(B_0)=Y\)。事实上：

若 \(\exists x_1 \in A_0，x_2 \in B_0 ，s.t. f(x_1)=g^{-1}(x_2)\)，则 \(h(x_1)=x_2\)，但 \(h(x_1) \in h(A_0) \subset A_0，x_2 \in B_0\)，故有 \(A_0 \bigcap B_0 \ne \varnothing\)（矛盾！）。即 \(f(A_0) \bigcap g^{-1}(B_0)=\varnothing\)。

另一方面：

\[f(A_0) \bigcup g^{-1}(B_0)=Y\Leftrightarrow h(A_0) \bigcup B_0=g(Y) \Leftrightarrow \complement_X{h(A_0)} \bigcap A_0=\complement_X{g(Y)} \]

由 \(\text{Lemma 3}\) 得出的划分可知：

\[f(A_0) \bigcup g^{-1}(B_0)=Y\Leftrightarrow \complement_X{h(A_0)} \bigcap A_0=\complement_X{g(Y)}\Leftrightarrow \complement_X{g(Y)}\bigcup \complement_X{A_0} \bigcap A_0=\complement_X{g(Y)} \]

这是显然的。

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到此我们便证明完了 \(\text{Schroeder-Bernstein Theorem}\)，完结撒花！！