数学趣题

前言

本栏目记录一些自己写出来的比较有意思的数学题。

正文

2020 年全国高中数学联合竞赛模拟题（13）第 一 试压轴题的加强

求所有自然数 \(a\)，\(b\)，\(c\)，使得对于任意的 \(n \in \mathbb{Z}\)，\(n>2\)，均有

\[b-\frac{c}{(n-2)!}<\sum\limits_{i=2}^{n} \frac{i^3-a}{i!}<b. \]

解：
当 \(n \ge 5\) 时：

\[\sum\limits_{i=2}^{n} \frac{i^3-a}{i!}=\sum\limits_{i=2}^{n} \left[\frac{i^2}{(i-1)!}-\frac{a}{i!} \right]=4-\frac{a}{n!}+\sum\limits_{i=2}^{n-1} \frac{(i+1)^2-a}{i!} \]

\[=4-\frac{a}{n!}+\sum\limits_{i=2}^{n-1} \left[\frac{i+2}{(i-1)!}-\frac{a-1}{i!} \right]=4-\frac{a}{n!}+4-\frac{a-1}{(n-1)!}+\sum\limits_{i=2}^{n-2} \frac{i+4-a}{i!} \]

\[=4-\frac{a}{n!}+4-\frac{a-1}{(n-1)!}+\sum\limits_{i=2}^{n-2} \left[\frac{1}{(i-1)!}-\frac{a-4}{i!} \right] \]

\[=4-\frac{a}{n!}+4-\frac{a-1}{(n-1)!}+1-\frac{a-4}{(n-2)!}+\sum\limits_{i=2}^{n-3} \frac{5-a}{i!} \]

记：

\[A_n=b-\frac{c}{(n-2)!}，B_n=\sum\limits_{i=2}^{n} \frac{i^3-a}{i!}，C_n=b \]

而:

\[\lim_{n \to \infty} A_n=\lim_{n \to \infty} C_n=b \]

由夹逼定理：

\[\lim_{n \to \infty} B_n=b \]

即：

\[\lim_{n \to \infty} \left[4-\frac{a}{n!}+4-\frac{a-1}{(n-1)!}+1-\frac{a-4}{(n-2)!}+\sum\limits_{i=2}^{n-3} \frac{5-a}{i!}\right]=b \]

\[\Rightarrow 9-(5-a)\sum\limits_{i=2}^{\infty} \frac{1}{i!}=b \]

\[\Rightarrow 9-(5-a)(e-2)=b \]

由于\(a\)，\(b\) 均为自然数可知，\((e-2)\) 的系数必然为 \(0\)，即 \(a=5\)，\(b=9\)。

不难验证:

\[\sum\limits_{i=2}^{n} \frac{i^3-5}{i!}=9-\frac{5}{n!}-\frac{4}{(n-1)!}-\frac{1}{(n-2)!} \]

对 \(n \in \mathbb{Z}\)，\(n>2\) 恒成立，而：

\[9-\frac{c}{(n-2)!}<9-\frac{5}{n!}-\frac{4}{(n-1)!}-\frac{1}{(n-2)!} \]

也恒成立，化简得：

\[c>\frac{5}{n(n-1)}+\frac{4}{n-1}+1 \]

\(\text{RHS}\) 随着 \(n\) 的增大而减小，故 \(c\) 只需满足：

\[c>\frac{5}{3 \times 2}+\frac{4}{2}+1 \]

又 \(c\) 为自然数，故 \(c\ge 4\)。

综上，所有满足条件的解为：\(a=5\)，\(b=9\)，\(c\) 为不小于 \(4\) 的任意自然数。