BZOJ4872 分手是祝愿

Description

Zeit und Raum trennen dich und mich.
时空将你我分开。B 君在玩一个游戏,这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成,给定这 n 个灯的初始状态,下标为
从 1 到 n 的正整数。每个灯有两个状态亮和灭,我们用 1 来表示这个灯是亮的,用 0 表示这个灯是灭的,游戏
的目标是使所有灯都灭掉。但是当操作第 i 个开关时,所有编号为 i 的约数(包括 1 和 i)的灯的状态都会被
改变,即从亮变成灭,或者是从灭变成亮。B 君发现这个游戏很难,于是想到了这样的一个策略,每次等概率随机
操作一个开关,直到所有灯都灭掉。这个策略需要的操作次数很多, B 君想到这样的一个优化。如果当前局面,
可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉,那么他将不再随机,直接选择操作次数最小的操作方法(这个
策略显然小于等于 k 步)操作这些开关。B 君想知道按照这个策略(也就是先随机操作,最后小于等于 k 步,使
用操作次数最小的操作方法)的操作次数的期望。这个期望可能很大,但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定
是整数,所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。

Input

第一行两个整数 n, k。
接下来一行 n 个整数,每个整数是 0 或者 1,其中第 i 个整数表示第 i 个灯的初始情况。
1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ k ≤ n;

Output

输出一行,为操作次数的期望乘以 n 的阶乘对 100003 取模之后的结果。

Sample Input

4 0
0 0 1 1

Sample Output

512

这道题很有意思,仔细分析可以得到这个结论:操作之间不能等效
也就是说一个开关如果要按,就必须按奇数次,而一个不应该被按的开关就必须按偶数次
知道这一点的话就好做了
我们设f[i]表示需要操作的开关数有i个时需要按多少下才能变成i-1个
可以得出 $f[i]=i/n+(1-i/n)*(f[i+1]+f[i]+1)$ ,$f[n]=1$
接下来只需要计算原序列需要操作多少次了
计算每个数的约数是 $O(n* \sqrt n)$
这个妥妥超时的,但是如果换成枚举约数的话,就可以是 $n/1+n/2+n/3...+n/n=nlog(n)$
调和级数?
还有线性推逆元,对$i$而言,把模数表示成$k*i+r$,即$k*i+r\equiv 0(mod p)$,
然后再同时乘以$i^{-1}*r^{-1}$,再移项,就能得到递推求逆元的公式了
最后别忘了乘上n!
 1 #include<cstdio>
 2 #include<vector>
 3 #define mod 100003
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 int n,k;
 7 int b[100005];
 8 ll f[100005],inv[100005],ans,sum;
 9 vector<int>G[100005];
10 int main(){
11     scanf("%d%d",&n,&k);
12     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);
13     inv[1]=1;
14     for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=((mod-mod/i)*inv[mod%i])%mod;
15     for(int i=1;i<=n;i++)
16     for(int j=i;j<=n;j+=i)
17     G[j].push_back(i);
18     for(int i=n;i>=1;i--)
19         if(b[i]){
20             for(int j=0;j<G[i].size();j++)b[G[i][j]]^=1;
21             sum++;
22         }
23     if(sum<=k)ans=sum;
24     else{
25         f[n]=1;
26         for(int i=n-1;i>=1;i--)f[i]=(1ll+(1ll*n-i)*(f[i+1]+1)*inv[i])%mod;
27         for(int i=sum;i>k;i--)ans=(ans+f[i])%mod;
28         ans=(ans+k)%mod;
29     }
30     for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ans*i)%mod;
31     printf("%lld",ans);
32     return 0;
33 }
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posted @ 2019-01-10 16:18  瞬闪影  阅读(173)  评论(1编辑  收藏  举报