【bzoj3000】Big Number 【斯特林公式】

题意：给你两个整数N和K，要求你输出N！的K进制的位数。
题解：首先补了一下对数的运算法则。
1.loga(mn)=loga(m)+loga(n)$lo{g}_a(mn)=lo{g}_a(m)+lo{g}_a(n)$
2.loga(mn)=loga(m)−loga(n)$lo{g}_a(\frac{m}{n})=lo{g}_a(m)-lo{g}_a(n)$
3.loga(mn)=nloga(m)$lo{g}_a(m^n)=nlo{g}_a(m)$
4.loga(m−−√n)=1nloga(m)$lo{g}_a(\sqrt[n]{m})=\frac{1}{n}lo{g}_a(m)$
再有一个n!$n!$的近似值公式，就是斯特林公式。
n!≈2πn−−−√(ne)n$n!\approx \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n$
于是我们就可以求答案了。
ans=logk(n!)+1$ans=lo{g}_k(n!)+1$
=>ans=logk(2πn−−−√(ne)n)+1$ans=lo{g}_k(\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n)+1$
=>ans=logk(2πn−−−√)+logk((ne)n)+1$ans=lo{g}_k(\sqrt{2\pi n})+lo{g}_k((\frac{n}{e}{)}^n)+1$
=>ans=12logk(2πn)+nlogk(ne)+1$ans=\frac{1}{2}lo{g}_k(2\pi n)+nlo{g}_k(\frac{n}{e})+1$
注意当n比较小的时候结果误差较大，可以直接暴力计算。
代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double pi=acos(-1),e=exp(1);
ll n,k;
double ans;
int main(){
    while(~scanf("%lld%lld",&n,&k)){
        if(n<=10000){
            ans=1;
            for(int i=1;i<=n;i++){
                ans=ans+log(i)/log(k);
            }
            printf("%lld\n",(ll)ans);
        }else{
            ans=0.5*log(2*pi*n)/log(k)+n*log(n/e)/log(k)+1;
            printf("%lld\n",(ll)ans);
        }
    }
    return 0;
}