【Learning】二项式反演

如果我们有一个这样的式子

f(n)=i=0ng(i)Cni

并且我们已经知道了f,我们能否直接求出g呢?答曰:可以。这个东西就叫做二项式反演。结果就是
g(n)=i=0n(1)niCnif(i)

怎么证?
一般证明反演的套路,我们带入一下

g(n)=i=0n(1)niCnij=0ig(j)Cij

改变一下枚举顺序
g(n)=j=0ng(j)i=jn(1)niCniCij

暴拆之后,我们发现一个式子
CniCij=CnjCnjni

替换一下
g(n)=j=0ng(j)i=jn(1)niCnjCnjni

g(n)=j=0nCnjg(j)i=jn(1)niCnjni

后面的东西直接二项式定理
g(n)=j=0nCnjg(j)(1+1)nj

仅当nj=0,即n=j(1+1)nj才不为0
因此
g(n)=Cnng(n)=g(n)

证明完毕。
例题

posted @ 2018-08-04 10:48  ez_2016gdgzoi471  阅读(118)  评论(0编辑  收藏  举报