【Learning】二项式反演

如果我们有一个这样的式子

f(n)=∑i=0ng(i)Cin$$f(n)=\sum _{i=0}^{n}g(i)C_n^i$$

并且我们已经知道了f$f$，我们能否直接求出g$g$呢？答曰：可以。这个东西就叫做二项式反演。结果就是

g(n)=∑i=0n(−1)n−iCinf(i)$$g(n)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^{n-i}{C}_n^{i}f(i)$$

怎么证？
一般证明反演的套路，我们带入一下

g(n)=∑i=0n(−1)n−iCin∑j=0ig(j)Cji$$g(n)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^{n-i}{C}_n^i\sum _{j=0}^{i}g(j)C_i^j$$

改变一下枚举顺序

g(n)=∑j=0ng(j)∑i=jn(−1)n−iCinCji$$g(n)=\sum _{j=0}^{n}g(j)\sum _{i=j}^n(-1{)}^{n-i}{C}_n^i{C}_i^j$$

暴拆之后，我们发现一个式子

CinCji=CjnCn−in−j$$C_n^i{C}_i^j=C_n^j{C}_{n-j}^{n-i}$$

替换一下

g(n)=∑j=0ng(j)∑i=jn(−1)n−iCjnCn−in−j$$g(n)=\sum _{j=0}^{n}g(j)\sum _{i=j}^n(-1{)}^{n-i}{C}_n^j{C}_{n-j}^{n-i}$$

g(n)=∑j=0nCjng(j)∑i=jn(−1)n−iCn−in−j$$g(n)=\sum _{j=0}^n{C}_n^{j}g(j)\sum _{i=j}^n(-1{)}^{n-i}{C}_{n-j}^{n-i}$$

后面的东西直接二项式定理

g(n)=∑j=0nCjng(j)(−1+1)n−j$$g(n)=\sum _{j=0}^n{C}_n^{j}g(j)(-1+1{)}^{n-j}$$

仅当n−j=0$n-j=0$，即n=j$n=j$，(−1+1)n−j$(-1+1{)}^{n-j}$才不为0
因此

g(n)=Cnng(n)=g(n)$$g(n)=C_n^{n}g(n)=g(n)$$

证明完毕。
例题