理想流体动力学基础(五)

根据质量守恒定律和动量定理(就是动量守恒定律?)建立方程。

根据质量守恒定律建立的方程又叫做微分形式的连续性方程。简称为连续性方程。可以是微分形式，也可以是积分形式。

对控制体建立质量守恒方程，本质上其实是对里面的各个流体质点(流体微团)建立的。所以，它是一种总流？一种积分？

取一个六面体为控制体，里面包含着流体，总体积为：Δx*Δy*Δz。

它的流体质心为ρ。

每一个流体质点都是在运动的。而控制体是固定的。

所以，流体会从一个控制面流入，而从另一个控制面流出。

一共有3对面：X轴两个，Y轴两个，Z轴两个。

先分析X轴的情形，建立质量守恒方程(假设水只沿着X轴流动)：

单位时间内x方向流出的流体质量为(密度*速度*面积=质量):

化简后得到

同理可得，单位时间内由六个表面净流出的质量流量为:

单位时间内由于密度变化使控制体内的流体质量改变量为:（质量守恒定律）

进而可得：

该式子即为连续性方程（微分形式）。

对于三元定常流动(ρ对时间的偏导数等于=0)：

对于不可压缩流体的流动(ρ=const.)：

空气是可压缩流体，密度会容易发生变化，但是水可以认为是不可压缩流体。

柱坐标形式（三个变量为r,θ,z）:

 柱坐标微元控制体。

例：不可压缩流体平面流动的速度分布为

 求a,b的值。

由不可压缩流体二元流动的连续性方程知道

 由此可得：

      a=0.5,b=1。

所以，a和b是不能随便取值的。必须是a=0.5,b=1时，这个流动才可能在现实世界中存在，因为受制于质量守恒定律。