最小生成树

[生成树]

从一个无向连通图中选取一些边使这张图是一颗树。

[最小生成树]

在生成树的基础上使边权和最小。

[Kruskal]

寻找满足条件的边
贪心，从未选取的边中选一条边权最小的边，
选完后不出环即可。
我们需要判断:

当前最小边权的边。
这条边所连接的两个点的连通性。

用并查集判断即可。

[Prim]

寻找满足条件的点
在没有加入连通块的点中选一个最近的加入连通块，
我们需要判断:

哪些点还没有加入连通块
这些点与连通块的距离
距离最近的点

\(eg:\)

1
\(accoders\)【一本通图最小生成树】最短网络\((agrinet)2023\)
\(luogu\) \(P1546\) \([USACO3.1]\) 最短网络 \(Agri-Net\)
思路:
最小生成树的板子。
\([Kruskal]\)
\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[110][110];
struct node{
	int l,r,w;
	bool operator <(const node &ret)const{
		return w<ret.w;
	}
}e[1000010];
int cnt,fa[1000100],ans=0,tot=0;
int find(int x){
	if(fa[x]==x){
		return x;
	}
	return fa[x]=find(fa[x]);
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin>>a[i][j];
			if(i<j){
				e[++cnt]={i,j,a[i][j]};
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=i;
	}
	sort(e+1,e+cnt+1);
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		int l=e[i].l,r=e[i].r,w=e[i].w;
		int fl=find(l),fr=find(r);
		if(fl!=fr){
			fa[fl]=fr;
			tot++;
			ans+=w;
		}
		if(tot==n-1){
			break;
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

2
\(accoders\)的【一本通图最小生成树】局域网
\(luogu\) \(P2820\) 局域网
思路:
求出最小生成树后用边权总和减去最小生成树的边权和即可。
\([Prim]\)
\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> P;
const int N=100010;
struct node{
	int to,l;
};
int n,m,ans,tot;
vector<node>mp[N+10];
int vis[N+10],dis[N+10];
void prim(int rt){
	priority_queue<P,vector<P>,greater<P> >q;
	dis[rt]=0;
	q.push(P(dis[rt],rt));
	while(!q.empty()){
		int l=q.top().second,w=q.top().first;
		q.pop();
		if(vis[l]){
			continue;
		}
		vis[l]=1;
		ans+=w;
		for(auto v:mp[l]){
			if(dis[v.to]>v.l){
				dis[v.to]=v.l;
				q.push(P(dis[v.to],v.to));
			}
		}
	}
} 
int main(){
	cin>>n>>m;
	memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof dis);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r,w;
		cin>>l>>r>>w;
		mp[l].push_back({r,w});
		mp[r].push_back({l,w});
		tot+=w;
	}
	prim(1);
	cout<<tot-ans;
	return 0;
}

\([Kruskal]\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,cnt;
struct node{
	int l,r,w;
	bool operator <(const node &W)const{
		return w<W.w;
	}
}mp[110*110];
int fa[110*110];
int find(int x){
	if(fa[x]==x){
		return x;
	}
	return fa[x]=find(fa[x]);
}
int main(){
	cin>>n>>k;
	int tot=0,ans=0;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		int l,r,w;
		cin>>l>>r>>w;
		mp[++cnt]={l,r,w};
		tot+=w;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=i;
	}
	sort(mp+1,mp+cnt+1);
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		int l=mp[i].l,r=mp[i].r,w=mp[i].w;
		int fl=find(l),fr=find(r);
		if(fl!=fr){
			fa[fl]=fr;
			ans+=w;
		}
	}
	cout<<tot-ans;
	return 0;
}

3
\(accoders\)的【一本通图最小生成树】繁忙的都市 2025
\(luogu\) \(P2330\) \([SCOI2005]\) 繁忙的都市
思路:
最小生成树但是要求有多少个边和边权最大的边。
\(code:\)
\([Kruskal]\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,cnt,tot,ma=-1;
struct node{
	int l,r,w;
	bool operator <(const node &W)const{
		return w<W.w;
	}
}mp[310*310];
int fa[310*310];
int find(int x){
	if(x==fa[x]){
		return x;
	}
	return fa[x]=find(fa[x]);
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r,w;
		cin>>l>>r>>w;
		mp[++cnt]={l,r,w};
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=i;
	}
	sort(mp+1,mp+cnt+1);
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		int l=mp[i].l,r=mp[i].r,w=mp[i].w;
		int fl=find(l),fr=find(r);
		if(fl!=fr){
			fa[fl]=fr;
			tot++;
			ma=max(ma,w); 
		}
	}
	cout<<tot<<" "<<ma;
	return 0;
}

4
\(accoders\)的【一本通图最小生成树】联络员\((liaison)2026\)
思路:
先将必选选入，然后从小到大做非必选的最小生成树即可。
\(code:\)
\([Kruskal]\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int fa[2001*2001],cnt;
struct node{
	int l,r,w,fl;
	bool operator <(const node &W)const{
		return w<W.w;
	}
}mp[2001*2001];
int find(int x){
	if(x==fa[x]){
		return x;
	}
	return fa[x]=find(fa[x]);
}
int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	int tot=0,ans=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r,w,f;
		cin>>f>>l>>r>>w;
		mp[++cnt]={l,r,w,f};
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=i;
	}
	sort(mp+1,mp+cnt+1);
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		int l=mp[i].l,r=mp[i].r,w=mp[i].w,f=mp[i].fl;
		int fl=find(l),fr=find(r);
		if(f==1){
			fa[fl]=fr;
			ans+=w;
			tot++;
		}
	}
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		int l=mp[i].l,r=mp[i].r,w=mp[i].w,f=mp[i].fl;
		int fl=find(l),fr=find(r);
		if(fl!=fr&&f==2){
			fa[fl]=fr;
			ans+=w;
			tot++;
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

5
\(accoders\) 的【一本通图最小生成树】连接格点2098
思路:
通过类似hash的操作将格点强行建边，
把给的边放入边数组中，然后跑一遍最小生成树。
\(code\)(感谢\(little_sheep_2024\)的\(code\)):

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m,n,f[1000005];
int x,xx,y,yy,idx=0;
struct edge{
	int u,v,w;
}e[5000005];

int find(int u){
	return f[u]==u ? u : f[u]=find(f[u]);
}

int fe(int x,int y){
	return m*(x-1)+y;
}

bool cmp(edge x,edge y){
	return x.w<y.w;
}

int kruscal(){
	int ans=0;
	sort(e+1,e+idx+1,cmp);
	for(int i=1;i<=idx;i++){
		int fu=find(e[i].u);
		int fv=find(e[i].v);
		if(fu!=fv){
			ans+=e[i].w;
			f[fu]=fv;
		}
	}
	return ans;
}

int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n*m;i++){
		f[i]=i;
	}
	while(cin>>x>>y>>xx>>yy){
		int fu=find(fe(x,y));
		int fv=find(fe(xx,yy));
		f[fu]=fv;
	}
	for(int i=1;i<m;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			e[++idx].u=fe(j,i),e[idx].v=fe(j,i+1);
			e[idx].w=2;
		}
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			e[++idx].u=fe(i,j),e[idx].v=fe(i+1,j);
			e[idx].w=1;
		}
	}
	cout<<kruscal();
	return 0;
}

6
\(accoders\)的【一本通提高篇最小生成树】新的开始2098
思路:
将建设发电机的费用变成一个点放在原本的图外，
这样建设发电机就变成了连一个费用为V的边，
然后就成了一个大图的最小生成树。
\(code:\)
\([Kruskal]\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000010;
int n;
struct node{
	int l,r,w;
	bool operator <(const node &W) const{
		return w<W.w;
	}
}mp[N];
int cnt,fa[N];
int find(int x){
	if(fa[x]==x){
		return x;
	}
	return fa[x]=find(fa[x]);
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n+1;i++){
		fa[i]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int v;
		cin>>v;
		mp[++cnt]={i,n+1,v};
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			int w;
			cin>>w;
			if(i<j){
				mp[++cnt]={i,j,w};
			}
		}
	}
	sort(mp+1,mp+cnt+1);
	int tot=0,ans=0;
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		int l=mp[i].l,r=mp[i].r,w=mp[i].w;
		int fl=find(l),fr=find(r);
		if(fl!=fr){
			fa[fl]=fr;
			ans+=w;
			tot++;
		}
		if(tot>=n){
			break;
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

posted @ 2025-01-17 20:57 lbh123 阅读(27) 评论(0) 收藏举报

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