工程经济学 现金流量与资金时间价值（笔记）

 资金的时间价值

资金随时间推移而增值的性质，成为资金的时间价值。

利息的计算方式

单利

利不生利，每一期的利息=原始本金*利率，公式如下：

【例子】

 复利

利滚利。生成的利息，会在下一期计入本金，来计算下一期的利息。

【例子】

 

名义利率和实际利率

当利率的时间单位与计息周期不一致时，若采用复利计息，会产生名义利率与实际利率不一致的问题。

1、名义利率 r ：计息周期利率*每年计息周期数 得到的年利率。即 r = 每个周期的利率 * m 。比如我现在要计算年利率，我的计息次数也是一次；

2、实际利率 i ：考虑了资金时间价值的实际年利率。即 。比如我现在要计算年利率，我的计息次数不是一次，而是一年会计息很多次，比如我要计息12次。

 实际利率公式推导：

1）假设一年计息m次，每个计息周期的实际利率就是 r/m；

2）根据复利公式，最终的本利和 ；

3）利息 = F - P = ；

4）实际的年利率 i = 利息/本金 =  = 。

 

 上例中，如果计息次数m=1，那么名义利率=实际利率；如果m≠1，比如等于12，由于利滚利，计息次数越多，实际利率 i 就会越大。但也不会无限大下去：

数学上有一个经典极限：。对于上面的实际利率公式，我们向这种形式靠近，可以假设 n = m/r ，那么公式就会转换为，当m趋于无穷大的时候，n也就趋于无穷大，适用公式。因此 。也就是说，当m趋于无穷大的时候，最终，i 会收敛到  。如下，是一个对于年利率为12%，存款1年，如果计息周期为1次、4次、12次的数据对比。由于m也并未趋于无穷大，所以随着m的增加，i 也在增加，对应的，本利和 F 也在增加：

现金流量与现金流量图

现金流量

现金流量是指，在特定的经济系统内，在一定的时期内，现金流入与现金流出的总和。

 

现金流量图

有三个要素：时间、方向、大小。时点要注意下，比如2，就是第二年年末的意思。

 

 

资金等值

不同时点上，不同数额的资金具有相同的价值，或者相同数额的资金，在不同的时点上具有不同的价值。等值，是价值相等，不是金额相等。比如现在有1000元，我可以买冰箱，也可以用来做投资。加入我不买冰箱，做6%的投资，那么一年后，我手上的金额是1060.但这两者对我来说，价值是一样的。如果，两笔资金是等值的，那么这两笔资金，在任何时点，都会相等。为什么要有这个概念呢？

在投资决策、贷款比较、项目评估中，怎么知道哪个决策收益最好呢？我们必须把不同时间点的钱放到同一时间点比较。比如：3 年后给你 1500 元，和今天给你 1200 元，哪个更划算？必须用利率折算到同一时间点才能比较。也就是，用于去除时间对资金的影响。在给定利率下，资金的价值不依赖于它出现的时间点，而可以通过时间价值换算保持等值关系，并且这种等值关系在所有时间点成立。

1、现在值（现值）：未来时点上的资金折现到现在时点的资金价值；

2、将来值（终值）：与现值等价的未来某时点的资金价值；

3、折现（贴现）：把将来某一时点上的资金换算成与现在时点等值的金额的换算过程；

4、复利（本利和计算）：把现值换算成终值的过程。

 

资金等值的计算公式

 

 一次支付

【一次支付终值公式】

实际上就是复利公式。关系变量是F和P。

 

 【一次支付现值公式】

其实就是终值的逆运算。现值系数和终值系数，互为倒数。

 

  

 

 等额分付支付

【等额分付终值公式】

关系变量是年金A和终值F。等额分付的特点：

1、每期支付大小相等、方向相同的现金流；

2、支付间隔相同，通常为1年；

3、每次支付均在每年年末。

注意：这个推导过程，就是等比求和公式，得到

 

 

 

【等额分付偿债基金公式（也就是等额分付的年金计算公式）】

其实就是终值的逆运算。偿债基金系数和终值系数，互为倒数。

 

 

 现值与年金的换算

【等额支付-资金回收公式（根据现值，求年金）】

 

 

下面这个例子，要注意，资金产生效益，是从第二年开始的，并且是每年会产生12%的收益。那么原始资金，就不是200w了，而是200w滚了一年以后，它可能的本利和，这里根据资金的时间价值（我要这200w不用在这里，我也至少可以吃点利息吧），以及后面每年都是要有12%的收益的，那么我前面就假定我至少资金也是可以增长12%的（如果第一年你只要求资金增值 10%，后面 9 年你却要求它增值 12%，这相当于在同一笔投资中，对不同时间段设了不同的收益率要求，这不符合一致性的投资评价准则。）。那么我在第一年结束，真正的 P 应该是通过复利运算得到的终值： 。

 

 【等额支付现值公式（根据年金，求现值）】

也就是年金的逆运算。现值系数和回收系数，互为倒数。

 

习题

习题1

 【解答】

现金流量图：

 现值：这是一个折现的计算。题目其实给我们的是各个时点的终值，我们要依次折现到t=0的时候，资金是多少，也就是对应的现值。每个时点的折现，都是完全独立的，不会存在第二年的折现，把第一年的本金已经包含的情况。这种包含的思想，本质上你是先做了终值的换算，然后再折现，自然就会包含了。这道题，是已经给出了确定的终值。因此现值，就是各个独立终值折现后的和。这里注意，在第六年到第十年这里，每年是500w，用的是A，F的换算公式，通过A求得F。由于这是直接求得的第十年的F，所以折现回t=0，就再套用P，F的换算公式，通过F求P，需要再除以1.06^10.

 第二年年末：套用F，P公式，F=P*1.06^2=897.6409万元

  终值：套用F，P公式，F=P*1.06^14=1806.2298万元

习题2

 

【解答】这道题，其实就是考察你会不会根据公式，计算系数。有两种方式，一是列出公式，用计算器算出来；而是直接查复利系数表，但是题目通常给的 i ，系数表是没有的。这时可以找到 i 所属的区间里，也就是一个 稍微比 i 大一点的 i，和一个稍微比 i 小一点的 i 。然后使用线性内插法，近似得到复利系数。比如：

 （1）

 公式法：

 复利系数法：

 （2）公式法和复利系数法如下：

 （3）（4） 

习题3

 

【解答】

本题考察的是名义利率和实际利率。因为是半年复利一次，所以年利率转换为 5%/2 ，就是半年的利率。现金流量图的间隔，也为半年。因此 t = 2 时，为第一年末。现金流量图如下：

 使用现值法，P和A，求n。

1）第一年年末 现值：45 * （1+2.5%）^2 - 14 = 33.278125万元；

2）根据P，A公式，计算出n：

 

其他习题

 

 

 

注意：最后两道例题，到底是换成实际年利率计算，还是直接用名义年利率/计息次数计算合适，取决于，每次给钱的节点是多久。比如倒数第二个例题，复利期是半年，支付也是半年，那就直接用名义年利率/2作为半年实际利率用计算。但倒数第一个题，复利期是一季度，但是每年年底给钱，因为要把名义年利率转为实际年利率，再代入按年计算的公式。