Rainbow的信号

Rainbow的信号-AcWing

简洁题意：

给定一个数列，从中等概率的选取区间\([l,r]~(l>r就交换l,r)\)，分别求\(and\)和的期望，\(or\)和的期望，\(xor\)和的期望。

solution：

首先，因为位运算只同每一个二进制位有关系，那么我们可以把每一位分开考虑，求和即可（根据数据范围，最多31位）。

当\(l=r\)时出现的概率：\(\frac{1}{n^2}\)

当\(l\neq r\)时出现的概率：\(\frac{2}{n^2}\)（因为当\(l<r\)时，交换\(l,r\)）。

设当前考虑第\(i\)位，第\(j\)个数，\(last_0\)表示\(1到j-1\)中最后一个第\(i\)位为\(0\)的数的下标，\(last_1\)表示\(1到j-1\)中最后一个第\(i\)位为\(1\)的数的下标，\(x_0\)表示\(1到j-1\)中第\(i\)位有偶数个\(1\)的以\(j-1\)结尾的区间数量，\(x_1\)表示\(1到j-1\)中第\(i\)位有奇数个\(1\)的以\(j-1\)结尾的区间数量。

目前统计第\(i\)位中，以第\(j\)的数结尾的所有区间，则\(l=[1,j]~,~r=j\)。

\(and\)和：（\(and\)为1要求\(l-r\)中所有的第\(i\)为都为一）

①，此时考虑到的位上为1：

\(+\frac{1}{n^2}2^i\)（当\(l=r\)时，此时必定为1）。

\(+\frac{2}{n^2}2^i(j-last_0-1)\)。（注意排除掉\(l=r\)的情况）。

②，此时考虑到的位上为0：

不进行任何修改。

---

\(or\)和：（\(or\)为1要求\(l-r\)中至少有一个数第\(i\)位为1）

①，此时考虑到的位上为1：

\(+\frac{1}{n^2}2^i\)（当\(l=r\)时，此时必定为1）。

\(+\frac{2}{n^2}2^i(j-1)\)。（而此时第\(r\)个数的第\(i\)位就是1，所以都可以。注意排除掉\(l=r\)的情况）。

②，此时考虑到的位上为0：

\(+\frac{2}{n^2}2^i\cdot last_1\)（当\(l=[1,last_1]\)时都至少有一个1）。

---

\(xor\)和：（\(xor\)和要求\(l-r\)中有奇数个第\(i\)位为1）

①，此时考虑到的位上为1：

\(+\frac{1}{n^2}2^i\)（当\(l=r\)时，此时必定为1）。

\(+\frac{2}{n^2}2^i\cdot x_0\)（因为此时第\(i\)位为1，那么之前偶数个为\(1\)的现在就是奇数个了）

②，此时考虑到的位上为0：

\(+\frac{2}{n^2}2^i\cdot x_1\)

---

更改\(x_0,x_1\)：

①，此时考虑到的位上为1：

先交换\(x_0,x_1\)，再将\(x_1+1\)（加上\(l=r=j\)的情况）。

②，此时考虑到的位上为0：

再将\(x_0+1\)（加上\(l=r=j\)的情况）。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ld long double
using namespace std;
const int N=1e5+5;
ld ans_and,ans_or,ans_xor; 
int n;
int a[N]; 
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	
	for(int i=0;i<31;i++){
		int last0=0,last1=0,x0=0,x1=0;
		ld cnt=(ld)(1<<i); 
		for(int j=1;j<=n;j++){
			int tmp=((a[j]>>i)&1);
			if(tmp){
				ans_and+=cnt*1.0/n/n*1.0;
				ans_and+=cnt*2.0/n/n*1.0*(j-last0-1);
				ans_or+=cnt*1.0/n/n*1.0;
				ans_or+=cnt*2.0/n/n*1.0*(j-1);
				ans_xor+=cnt*1.0/n/n;
				ans_xor+=cnt*2.0/n/n*1.0*x0;
				last1=j;
				swap(x0,x1);
				x1++;			
			}
			else{
				ans_or+=cnt*2.0/n/n*1.0*last1;
				ans_xor+=cnt*2.0/n/n*1.0*x1;
				last0=j;
				x0++;
			}
		}
	}
	
	printf("%.3Lf %.3Lf %.3Lf",ans_xor,ans_and,ans_or); 
	
	return 0;
}