CSP2025 T4 employ

设 \(f_{i,j,k}\) 是前 \(i\) 位，当前有 \(j\) 个人寄了，有 \(k\) 个 \(x\) 满足 \(1 \le x \le i \land c_x \le j\)，只考虑所有 \(c \le j\)​ 的人的排列的方案数。

设 \(t_i\) 是 \(c_x = i\) 的 \(x\) 的个数，\(s\) 是 \(t\) 的前缀和。

直接转移，\(c\) 是 \(j\) 变大的时候枚举的要填在前面的 \(c_x = j+1\) 的个数。

• 当 \(s_i = 1\)：

  • 填 \(>j\) 的数：\(f_{i+1,j,k} \leftarrow f_{i,j,k}\)。
  • 填 \(\le j\) 的数：\(f_{i+1,j+1,k+c+1} \leftarrow f_{i,j,k}\binom{i-k}{c}\binom{t_{j+1}}{c}c!({s_j}-k)\)

• 当 \(s_i = 0\)：

  • 填 \(\le j\) 的数：\(f_{i+1,j+1,k+c+1} \leftarrow f_{i,j,k}\binom{i-k}{c}\binom{t_{j+1}}{c}c!({s_j}-k)\)
  • 填 \(j+1\)：\(f_{i+1,j+1,k+c} \leftarrow f_{i,j,k}\binom{i-k}{c-1}\binom{t_{j+1}}{c}c!\)
  • 填 \(> j\) 的数：\(f_{i+1,j+1,k+c} \leftarrow f_{i,j,k}\binom{i-k}{c}\binom{t_{j+1}}{c}c!\)​

答案就是 \(\sum\limits_{i=0}^{n-m}{f_{n,i,s_i}(n-s_i)!}\)。

一层里面所有 \(c\) 之和是 \(O(n)\) 的，因此总时间复杂度是 \(O(n^3)\)。