P12828 「DLESS-2」XOR and Number Theory 题解

神秘复杂度水过了。

先来看这个 \(x \oplus y = \gcd(x,y)\)，也就是 \(x \oplus \gcd(x,y) = y\)，我们发现对于一个 \(d\)，\(x \oplus d \le x + d\)。但是 \(y > x\) 所以 \(y\) 至少是 \(x + d\)，因此 \(y = x + d\)，此时若 \(d \mid x\)，则一定有 \(\gcd(x,y) = d\)。

在看这个神秘的一看就是凑出来的条件，将 \(y\) 换成 \(x + d\)，\(x\) 换成 \(a \times d\) 得到：

\[x^2 \bmod (y^2 - xy) \\ = x^2 \bmod (x^2 + 2xd + d^2 - x^2 -xd) \\ = x^2 \bmod d(d+x) \\ = a^2d^2 \bmod d^2(a+1) \\ = d^2(a^2 \bmod (a+1)) \\ = d^2 \]

贡献全都是 \(d^2\)，问题变成对每个 \(d\) 求有多少个 \(x\) 使得 \(d \mid x \land d \operatorname{and} x = 0\)，其中 \(\operatorname{and}\) 是按位与。

我想过先 \(O(3^{\log_2m})\) 枚举后面几位，但是由于我不会数论，所以后面不会 \(O(1)\) 求就有点寄，所以可以考虑一些神秘的暴力。

显然有直接暴力，对于一个 \(d\) 是 \(O(\dfrac{n}{d})\) 的。

然后 \(d\) 小的时候可以发现后面几位是有周期的，就可以记一下最后几位每一个状态是否被访问过，如果出现周期直接计算即可。复杂度 \(O(d)\)。

合起来就是 \(\sum\limits_{i=1}^m{\min(i,\dfrac{n}{i})}\)。居然可以通过。虽然 \(n\) 再大一点就直接死了。

inline void Solve(){
    rd(n,m);
    int ans=0;
    for(int d=1;d<B&&d<=m;d++){
        bt.reset();
        int cnt=0;
        for(int i=d,c=1;i+d<=n;i+=d,++c){
            int k=i&(B-1);
            if(bt[k]){
                --c;
                cnt+=((n-d)/d/c-1)*s[c]+s[((n-d)/d)%c];
                break;
            }
            bt[k]=1;
            s[c]=s[c-1];
            if((i&d)==0)++cnt,++s[c];
        }
        Add(ans,1ll*cnt*d%mod*d%mod);
    }
    for(int d=B;d<=m;d++){
        int cnt=0;
        for(int i=d;i+d<=n;i+=d)
            if((i&d)==0)++cnt;
        Add(ans,1ll*cnt*d%mod*d%mod);
    }
    printf("%d\n",ans);
}