导数

导数的定义

\(严谨定义太复杂了,不管它,我们假设f'(x)=\frac{d(f(x))}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.\)

运算法则

\[\begin{align*} &\left(f(x)\pm g(x)\right)'=f'(x)\pm g'(x)\\ &\left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ &\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'\left(g(x)\right)g'(x)\\ \end{align*}\]

证明

$$\begin{align*} &\left(f(x)\pm g(x)\right)'\\ &=\frac{d\left(f(x)\right)\pm d\left(g(x)\right)}{dx}\\ &=f'(x)\pm g'(x)\\\\ &\left(f(x)g(x)\right)'\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\ &=g(x)\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+f(x)\lim_{\Delta x\to 0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\\\ &\left(f\left(g(x)\right)\right)'\\ &=\frac{d\left(f\left(g(x)\right)\right)}{dx}\\ &=\frac{d\left(f\left(g(x)\right)\right)d\left(g(x)\right)}{d\left(g(x)\right)dx}\\ &=f'\left(g(x)\right)g'(x) \end{align*}$$

\(可推得\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\)

常用导数

\[\begin{align*} &C'=0\\ &(x^n)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}\\ &=x^n\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^n-1}{\Delta x}\\ &=x^n\lim_{\Delta x\to 0}\frac{n\frac{\Delta x}{x}}{\Delta x}\\ &=nx^{n-1}\\ &(a^x)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}\\ &=a^x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\ &=a^x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta x\ln a}{\Delta x}\\ &=a^x\ln a\\ &(\log_a x)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_a x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\frac{\frac{\Delta x}{x}}{\ln a}}{\Delta x}\\ &=\frac{1}{x\ln a}\\ &(\sin x)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin\Delta x-\sin x}{\Delta x}\\ &=\sin x\lim_{\Delta x\to0}\frac{\cos\Delta x-1}{\Delta x}+\cos x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\\ &=\sin x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-2\sin^2\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}+\cos x\\ &=\sin x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-2\left(\frac{\Delta x}{2}\right)^2}{\Delta x}+\cos x\\ &=\sin x\lim_{\Delta x\to 0}-\frac{\Delta x}{2}+\cos x\\ &=\cos x\\ &(\cos x)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos x\cos\Delta x-\sin x\sin\Delta x-\cos x}{\Delta x}\\ &=\cos x\lim_{\Delta x\to0}\frac{\cos\Delta x-1}{\Delta x}-\sin x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\\ &=-\sin x\\ &(\tan x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'\\ &=\frac{\cos x\cos x+\sin x\sin x}{\cos^2 x}\\ &=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}\\ &(\arcsin x)'=\frac{d(\arcsin x)}{dx}\\ &=\frac{1}{\frac{dx}{d(\arcsin x)}}\\ &=\frac{1}{\frac{d(\sin\arcsin x)}{d(\arcsin x)}}\\ &=\frac{1}{\cos\arcsin x}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\arcsin x}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &(\arccos x)'=\frac{d(\arccos x)}{dx}\\ &=\frac{1}{\frac{dx}{d(\arccos x)}}\\ &=\frac{1}{\frac{d(\cos\arccos x)}{d(\arccos x)}}\\ &=\frac{1}{-\sin\arccos x}\\ &=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2\arccos x}}\\ &=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &(\arctan x)'=\frac{d(\arctan x)}{dx}\\ &=\frac{1}{\frac{dx}{d(\arctan x)}}\\ &=\frac{1}{\frac{d(\tan\arctan x)}{d(\arctan x)}}\\ &=\frac{1}{1+\tan^2\arctan x}\\ &=\frac{1}{1+x^2}\\ \end{align*}\]

中值定理

我们直接来柯西中值定理
\(若f(x)和g(x)在[l,r]连续，在(l,r)可导，则\exists x\in(l,r),\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f(r)-f(l)}{g(r)-g(l)}.\)
拉格朗日中值定理就是柯西中值定理 \(g(x)=x\) 的情况.
罗尔中值定理就是拉格朗日中值定理 \(f(l)=f(r)\) 的情况.
罗尔中值定理可以小证一下，要用费马引理(这个怎么证就不要管了)，因为函数是连续的，所以一定存在极值，在这个极值点处导数值为 \(0\),得证.
在已知罗尔中值定理的情况下，可以证明柯西中值定理(正常也是从下往上的顺序来的).

证明

$$\begin{align*} &设 h(x)=f(x)+\frac{f(r)-f(l)}{g(r)-g(l)}\left(g(l)-g(x)\right),当 x=l 时,h(x)=f(l),当 x=r 时,h(x)=f(l),所以 h(l)=h(r).\\ &根据罗尔中值定理,\exists x\in(l,r),h'(x)=0.\\ &h'(x)=f'(x)-\frac{f(r)-f(l)}{g(r)-g(l)}g'(x)=0.\\ &所以f'(x)=\frac{f(r)-f(l)}{g(r)-g(l)}g'(x),那么\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f(r)-f(l)}{g(r)-g(l)}. \end{align*}$$

洛必达法则

\[\begin{align*} &当\lim_{x\to x_0}f(x)=0,\lim_{x\to x_0}g(x)=0时,\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{align*}\]

证明

$$\begin{align*} &设 x_0\le x_1\le x 且 \frac{f'(x_1)}{g'(x_1)}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)},显然 x\to x_0 时 x_1\to x_0.\\ &所以有 \lim_{x_1\to x_0}\frac{f'(x_1)}{g'(x_1)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}.\\ &因为\lim_{x\to x_0}f(x)=0,\lim_{x\to x_0}g(x)=0,所以 f(x_0)=g(x_0)=0.\\ &此时 x_1 和 x 无关联无差异，所以 \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{align*}$$

$$\begin{align*} 同时可以推&得,当\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty,\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty时\\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}\frac{f^2(x)}{g^2(x)}\\ &=\lim_{x\to x_0}\frac{\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{g(x)}}\lim_{x\to x_0}\frac{f^2(x)}{g^2(x)}\\ &=\lim_{x\to x_0}\frac{\frac{-f'(x)}{f^2(x)}}{\frac{-g'(x)}{g^2(x)}}\lim_{x\to x_0}\frac{f^2(x)}{g^2(x)}\\ &=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\\ 直接用就可&以,不用每次推. \end{align*}$$