极限

我忽略了所有数列的部分，因为我没有学。
其实跟函数本质相似，相信大家都能懂。

极限的定义

\[\begin{align*} &\lim_{x\to x_0}f(x)=A\iff\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,当0<\left|x-x_0\right|<\delta时,\left|f(x)-A\right|<\varepsilon.\\ &\lim_{x\to\infty}f(x)=A\iff\forall\varepsilon>0,\exists X>0,当\left|x\right|>X时,\left|f(x)-A\right|<\varepsilon. \end{align*}\]

\(其中\left\{x|0<\left|x-x_0\right|<\delta\right\}称作x_0的去心\delta邻域，记作\mathring U(x_0,\delta)\).
\(若将0<\left|x-x_0\right|<\delta替换为0<x-x_0<\delta,则称其为右极限，记作\lim_{x\to x_0^+}.\)
\(若将0<\left|x-x_0\right|<\delta替换为0<x_0-x<\delta,则称其为左极限，记作\lim_{x\to x_0^-}.\)
\(当且仅当左右极限存在且相等时，该点极限存在.\)

简单计算

\(若有\lim f=A,\lim g=B，则有\lim(f\pm g)=A\pm B,\lim fg=AB,若还有B\ne0,\lim\frac f g=\frac A B,\lim_{x\to x_0}f(g(x))=\lim_{x\to B}f(x).\)
相信读者自证不难.

极限存在准则

\[\begin{align*} &夹逼准则\\ &若x\in\mathring U(x_0,r)时,g(x)\le f(x)\le h(x),且\lim_{x\to x_0}g(x)=A,\lim_{x\to x_0}h(x)=A,则\lim_{x\to x_0}f(x)=A.\\\\ &若\exists\delta>0,使得f(x)在\left(x_0-\delta,x_0\right)单调且有界,则f(x)在x_0处左极限存在.\\ &函数有界是说\exists M>0,使得区间内函数值绝对值都小于M. \end{align*}\]

重要极限

\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1,\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac 1 x\right)^x=\lim_{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac 1 x}=e\)
\(可根据上面两个法则推导.\)

无穷小

\(当\lim_{x\to x_0}f(x)=0(或\lim_{x\to\infty}f(x)=0)时，称f(x)是x\to x_0(或x\to\infty)时的无穷小\)
无穷小有以下性质
性质1：无穷小与无穷小的和是无穷小.

证明1

$$\begin{align*} &设 \alpha,\beta为x\to x_0时的无穷小,\gamma=\alpha+\beta.根据无穷小的定义，则有\\ &\forall\varepsilon>0,\exists\delta_1>0，当x\in\mathring U(x_0,\delta_1)时，\left|\alpha\right|<\frac{\varepsilon}{2},同时,\exists\delta_2>0，当x\in\mathring U(x_0,\delta_2)时，\left|\beta\right|<\frac{\varepsilon}{2}.\\ &令\delta=\min(\delta_1,\delta_2),则当x\in\mathring U(x_0,\delta)时,\left|\gamma\right|=\left|\alpha+\beta\right|\le\left|\alpha\right|+\left|\beta\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.\\ &即\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,当x\in\mathring U(x_0,\delta)时,\left|\gamma\right|<\varepsilon即\gamma是x\to x_0时的无穷小.\\ &x\to\infty时同理. \end{align*}$$

性质2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

证明2

$$\begin{align*} &设f(x)在\mathring U(x_0,\delta_1)有界，即\exists M>0,使得\forall x\in\mathring U(x_0,delta_1),满足\left|f(x)\right|<=M.\\ &又设 \alpha为x\to x_0时的无穷小即\forall\varepsilon>0,\exists\delta_2>0，当x\in\mathring U(x_0,\delta_2)时，\left|\alpha\right|<\frac{\varepsilon}{M}.\\ &令\delta=\min(\delta_1,\delta_2),则当x\in\mathring U(x_0,\delta)时,\left|f(x)\alpha\right|=\left|f(x)\right|\cdot\left|\alpha\right|< M\cdot\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon.\\ &即\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0，使得\left|f(x)\alpha\right|<\varepsilon.\\ &x\to\infty时同理. \end{align*}$$

无穷小亦可进行比较.

\[\begin{align*} & 如果 \lim \frac{\beta}{\alpha}=0，那么就说 \beta 是比 \alpha 高阶的无穷小，记作 \beta=o(\alpha)；\\ & 如果 \lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty，那么就说 \beta 是比 \alpha 低阶的无穷小；\\ & 如果 \lim \frac{\beta}{\alpha}=c\neq0，那么就说 \beta 与 \alpha 是同阶无穷小；\\ & 如果 \lim \frac{\beta}{\alpha^k}=c\neq0,k>0，那么就说 \beta 是关于 \alpha 的 k 阶无穷小；\\ & 如果 \lim \frac{\beta}{\alpha}=1，那么就说 \beta 与 \alpha 是等价无穷小，记作 \alpha \sim \beta. \end{align*}\]

有一些比较常用的等价无穷小
\(\left(1+x\right)^a-1\sim ax\left(x\to0\right)\)

证明

$$\begin{align*} &\lim_{x\to0}\frac{\left(1+x\right)^a-1}{ax}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{\sum_{i=0}^{\infty}\binom a i x^i-1}{ax}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{\sum_{i=1}^{\infty}\binom a i x^i}{ax}\\ align*}$$

\(\log_a(x+1)\sim\frac{x}{\ln a}\left(x\to0\right)\)

证明

$$\begin{align*} &\lim_{x\to0}\frac{\ln a\log_a(x+1)}{x}\\ &=\ln a\lim_{x\to0}\log_a(x+1)^\frac{1}{x}\\ &=\ln a\log_a e\\ &=1 \end{align*}$$

\(a^x-1\sim x\ln a\left(x\to0\right)\)

证明

$$\begin{align*} &令t=a^x-1,则x\to0时t\to0,x=\log_a(t+1).则\\ &\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x\ln a}\\ &=\lim_{t\to0}\frac t {log_a(t+1)\ln a}\\ &=1 \end{align*}$$