依赖结果激活的下界约束因果流图

摘要

本文来源于某次不务正业过程中偶然发现的因果关系的数学结构，构造了一种将因果关系建模为带下界约束的有向流图的建模。

该模型可以适度模拟、研究和量化“从某个诱发原因到结果”的影响传递过程，非正式草稿，用于记录核心思想，待后续完善。

基本概念

因果流图

设 \(G = (V, E)\) 为一个有向图，其中：

• 顶点 \(v \in V\) 表示因果事件或状态。

• 有向边 \(e = (u \to v) \in E\) 表示 \(u\) 导致 \(v\)。

下界约束

每条边 \(e \in E\) 带有一个下界 \(l(e) \ge 0\)，表示该因果环节发生所需的最小影响量（流量）。

源点、汇点与超级汇点

• 入度为 0 的顶点称为源点，对应根本原因。

• 出度为 0 的顶点称为汇点，对应直接原因。

• 引入一个超级汇点 \(T\)，所有汇点 \(t_i\) 均有一条边指向 \(T\)，表示直接原因导致最终结果。

诱发原因

诱发原因可以是 \(V\) 中任意指定的顶点 \(s\)，不必是源点。可以引入一个超级源点 \(S_{\text{super}}\)（水库），从 \(S_{\text{super}}\) 连一条边到 \(s\)，表示外部注入的初始影响。

结果激活

结果节点 \(T\) 被激活，当且仅当流入 \(T\) 的总流量至少为指定阈值 \(F\)。

形式化：\(inflow(T) \ge F \iff\) 结果节点 \(T\) 被激活

核心问题

问题 1：可行性判定

给定：

• 因果流图 \(G\) 及其边下界 \(l(e)\)

• 诱发原因 \(s\)

• 结果激活阈值 \(F\)

问：是否存在一个可行流，使得所有边下界被满足，且 \(T\) 的流入量至少为 \(F\)？

问题 2：最小注入量

在问题 1 的基础上，求从 \(S_{\text{super}}\) 注入的最小流量，使得 \(T\) 被激活。

与其他模型的关系

• 该模型可视为带下界网络流的一个特例。

• 当所有下界为 0 且 \(F = 1\) 时，退化为普通可达性问题。

• 与统计学中的因果图（Pearl 框架）不同，本模型强调影响量的传递，而非纯粹的依赖结构。

求解算法

可行性判定算法

将原网络转化为标准可行流问题。对于每条边 \(e=(u,v)\) 具有下界 \(l(e)\) 和容量 \(c(e)\)（若未指定容量可设为 \(+\infty\)），采用如下步骤：
（1）构造一个辅助网络：保留原节点，增设超级源 \(S'\) 和超级汇 \(T'\)。
（2）对于每条边 \((u,v)\)，先强制发送下界流量 \(l(e)\)，并更新节点平衡：\(b(u) := b(u) - l(e)\)，\(b(v) := b(v) + l(e)\)。
（3）若某节点 \(x\) 的 \(b(x)>0\)，则从 \(S'\) 向 \(x\) 连容量为 \(b(x)\) 的边；若 \(b(x)<0\)，则从 \(x\) 向 \(T'\) 连容量为 \(-b(x)\) 的边。
（4）从 \(S'\) 到 \(T'\) 跑最大流，若最大流等于所有正平衡之和，则原网络存在可行流。

在上述可行流中，额外要求 \(T\) 的流入量 \(\ge F\)，可将 \(T\) 视为一个普通节点，并人为设定其需求为 \(F\)，即令 \(b(T) := b(T) + F\)，\(b(S_{\text{super}}) := b(S_{\text{super}}) - F\)，然后重新应用可行流判定。若存在可行流，则问题 1 答案为“是”。

最小注入量算法

在满足所有下界和 \(T\) 激活条件的前提下，最小化从 \(S_{\text{super}}\) 发出的流量。可以二分注入量 \(X\)：将超级源点到诱发原因 \(s\) 的边容量设为 \(X\)（下界为 0），然后使用 5.1 的可行流判定；若可行，则减小 \(X\)，否则增大 \(X\)。最终收敛到最小注入量。

更高效的方法是直接求最小流：先求出任意一个满足下界和激活条件的可行流，然后从 \(T\) 到 \(S_{\text{super}}\) 反向增广，减少总流量，直到无法继续减少。具体实现可参考带下界网络流的最小流算法。

多诱发原因的组合

当存在多个诱发原因 \(s_1, s_2, \ldots, s_k\) 时，可以引入一个公共超级源点 \(S_{\text{super}}\)，并从 \(S_{\text{super}}\) 向每个 \(s_i\) 连一条容量为 \(+\infty\)、下界为 0 的边。此时，每个诱发原因均可独立获得任意初始注入量。

结果激活条件仍为 \(inflow(T) \ge F\)。在该模型下，多个诱发原因的影响是线性叠加的：流入 \(T\) 的总流量等于各原因经由因果路径到达 \(T\) 的流量之和。

若需要表示原因之间的非线性作用（例如协同效应或拮抗效应），则需要扩展模型，例如引入节点激活阈值、边流量放大/衰减因子，或使用超图表示联合因果作用。本模型默认假设影响可加，适用于多数线性传播场景。

应用场景

• 故障传播分析：在复杂工程系统中，元件故障沿依赖关系传播。用边下界表示故障传播所需的最低故障强度，结果激活表示系统整体失效。可评估最小初始故障强度。

• 舆情/信息传播：社交网络中，用户转发内容需要一定的社交影响力。用边下界表示用户转发阈值，结果激活代表话题成为热点。可计算引爆热点所需的最小初始曝光量。

• 流行病传播：传染病传播过程中，每个传播路径有最低有效接触率。模型可判断在某初始感染人数下，疾病是否会大规模爆发（结果激活）。

• 金融风险传导：金融机构之间的风险敞口存在最低传染阈值。模型可分析系统性风险爆发的触发条件，以及哪些机构是关键的诱发原因。

• 供应链中断：供应网络中的节点中断沿供应链传播，下界表示某环节中断造成下级中断所需的最小损失量，结果激活表示整个供应链崩溃。可识别脆弱环节。