2026/01/05 分享

最近杜老师问我们“是不是觉得你们数学水平很可以，谁现在来定义一下幂函数和指数函数的概念？现在，直接精确定义出来。”

我当时想，幂函数不就是 \(x\) 的 \(a\) 次幂吗，指数函数不就是 \(a\) 的 \(x\) 次幂吗……但是幂的精确定义是什么？幂函数为什么是 \(x\) 的 \(a\) 次幂？指数不就是右上角那个数字吗？但是这就是指数的定义？

我想我好像一时间都说不出来个一二三。

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如何表达重复乘法？

如果已经有了乘法，如何表达 \(a\) 乘以自己 \(n\) 次这种操作？

我们定义这种运算叫做乘方，蕴含两个参数 \(a\) 和 \(n\) 。结果叫做幂，对于具体的参数，记作 \(a^{n}\) ，读作 \(a\) 的 \(n\) 次幂。

对于正整数 \(n \in \mathbb{N}^{+}\) ，定义

\[a^{1} := a, a^{n + 1} := a^{n} \cdot a \]

这两个参数有固定的叫法：

1. 底数（base） \(a\) ：乘法的“基础单元”，写在下面。
2. 指数（exponent） \(n\) ：指示“重复的次数”，写在上面。

基于这个定义，我们可以发现两个规律

指数加法定律

\[a^{m} \cdot a^{n} = \underbrace{a \cdot a \times \cdots \cdot a}_{m \text{次}} \cdot \underbrace{a \cdot a \times \cdots \cdot a}_{n \text{次}} = a^{m + n} \]

指数乘法定律

\[(a^{m})^{n} = \underbrace{a^{m} \cdot a^{m} \times \cdots \cdot a^{m}}_{n \text{次}} = a^{\underbrace{m + m + \cdots + m}_{n \text{次}}} = a^{m n} \]

（注：这里特别注意 “\(a\) 的 \(m\) 次幂”的 \(n\) 次幂是 \((a^{m})^{n} = a^{m n}\) ，而 \(a\) 的 \(m^{n}\) 次幂是 \(a^{m^{n}}\) ，这两个数不能混淆，也并不等价。）

如何扩展运算律？

1. 首先不妨将指数 \(n\) 从正整数集 \(\mathbb{N}^{+}\) 扩展到非负整数集 \(\mathbb{N}_{0}\) 。

需要定义零指数，且满足 \(a^{n} \cdot a^{0} = a^{0} \cdot a^{n}, \quad n \in \mathbb{N}^{+}\) 。于是我们定义

\[a^{0} = 1, \quad (a \neq 0) \]

（注：\(0\) 作为底数，从不同背景的公理出发，有不同的特殊的约定。这里避开这种不具备一般性的特殊约定。）

2. 然后继续将指数 \(n\) 从非负整数集 \(\mathbb{N}_{0}\) 扩展到正整数集 \(\mathbb{N}\) 。

需要定义负整数指数，且满足 \(a^{n} \cdot a^{-n} = a^{0} = 1, \quad n \in \mathbb{N}^{+}\) 。于是我们定义 \(a\) 的逆元

\[a^{-1} := \frac{1}{a},\quad a \neq 0 \]

继而有

\[a^{-n} := \frac{1}{a^{n}} \]

3. 然后继续将指数 \(n\) 从正整数集 \(\mathbb{N}\) 扩展到有理数集 \(\mathbb{Q}\) 。

需要定义有理数指数，且满足 \(a^{\frac{1}{k}} \cdot a^{k} = a^{1} = a, \quad k \in \mathbb{N}^{+}\) 。于是我们定义

\[a^{\frac{1}{k}} := \sqrt[k]{a} \ (\text{取实根}),\quad a \neq 0 \]

继而有

\[a^{\frac{m}{k}} := a^{\frac{1}{k} \cdot m} = (a^{\frac{1}{k}})^{m}, \quad a^{-\frac{m}{k}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{k}}} \]

4. 然后继续将指数 \(n\) 从有理数集 \(\mathbb{Q}\) 扩展到实数集 \(\mathbb{R}\) 。

有理数在实数中是稠密的，若固定 \(a > 0\) ，映射 \(r \mapsto a^{r},\ (r \in \mathbb{Q})\) 在有理数上单调且一致连续，根据“连续延拓定理”所以可以唯一地连续延拓到实数上。

对于任意 \(x \in \mathbb{R}\) ，构造有理数列 \(q_{n}\) 满足

\[\lim_{n \to \infty} q_{n} = x \]

从而有

\[a^{x} := \lim_{n \to \infty}a^{q_n} \]

由连续性，该极限存在，且与数列的选择无关，且仍保持指数加法定律和指数乘法定理（\(a > 0\)）。

5. 统一构造

自然而然，我们可以发现， \(\froall a \in \mathbb{R}^{+}\) ，\(a^{x}\) 都可以通过自然指数函数 \(e^{x}\) 和对数表示

\[a^{x} = e^{x \ln a}, \quad a \in \mathbb{R}^{+} \]

此处 \(\ln a\) 是 \(e^{y} = a\) 的解。

这种形式便于微积分的表示。

6. 指数 \(n\) 可以继续从实数扩展到复数

乘方扩展到复数是自然而然的，但涉及的性质比较多。先这样了。

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power function，\(f(x) = x^{a}\)。power 源自能力，指的是一个自变量在固定指数下的一种能力。中文根据“乘方的运算结果”将“power”翻译为“幂”。

所以我们提到幂函数，都是默认要固定一个指数，然后代入不同的自变量 \(x\) ，观察这些自变量在这个指数下的运算能力或者运算结果。

exponential function，\(g(x) = a^{x}\) 。指数用于指示底数 \(base\) 的重复次数，即我们默认固定一个 \(base\) ，观察代入不同的重复次数，产生的运算结果。