子空间

\(n\) 元一阶谓词

\(n\) 个集合的笛卡尔积到真值上的映射

\[P: D_1 \times \cdots \times D_n \to \{ \top, \bot \} \]

一般说的谓词默认是一阶谓词

集合的基数

集合 \(A\) 的基数记作 \(|A|\) 或 \(\operatorname{card}(A)\) 。

在有限集中，基数就是集合中元素的个数。不同的无限集合也可能有不同的基数。

二元关系

设 \(A, B\) 为集合，一个从 \(A\) 到 \(B\) 的二元关系是 \(A\) 和 \(B\) 的笛卡尔积 \(A \times B\) 的一个子集，即

\[R \subseteq A \times B \]

记全体这样的关系为

\[\mathcal{R}(A, B) := \{ R \mid R \subseteq A \times B \} \]

特别的，若 \(A = B\) ，则称 \(R\) 是 \(A\) 上的二元关系，即 \(\mathcal{R}(A) := \mathcal{R}(A, A)\) 。

二元关系的定义域和值域

\(\forall R \in \mathcal{R}(A, B)\) ：

• 定义域：\(\operatorname{dom}(R) := \{ a \in A \mid \exists b \in B .\ (a, b) \in R \}\)

  几何直观：\(R\) 的所有第一坐标点的集合

• 定义域：\(\operatorname{ran}(R) := \{ b \in B \mid \exists a \in A .\ (a, b) \in R \}\)

  几何直观：\(R\) 的所有第二坐标点的集合

二元关系的基本运算

1. 基本集合运算（关系是集合，也具基本的集合运算）

   设 \(R, S \in \mathcal{R}(A, B)\) ，则有

   1. 并：\(R \cup S = \{ (a, b) \mid (a, b) \in R \lor (a, b) \in S \}\)

   2. 交：\(R \cap S = \{ (a, b) \mid (a, b) \in R \land (a, b) \in S \}\)

   3. 差：\(R \setminus S = \{ (a, b) \mid (a, b) \in R \land (a, b) \not \in S \}\)

   4. 补（由差导出的运算）：\(\overline{R} = R^{c} = A \times B \setminus R = \{ (a, b) \mid (a, b) \in A \times B \land (a, b) \not \in R \}\)

   5. 对称差（由差和并导出的运算）：\(R \triangle S = (R \setminus S) \cup (S \setminus R) = \{ (a, b) \mid (a, b) \in (R \setminus S) \lor (a, b) \in (R \setminus S) \}\)

   6. 笛卡尔积：\(R \times S = \{ ((a, b), (c, d)) \mid (a, b) \in R \land (c, d) \in S \}\)

2. 逆关系

   记 \(R \in \mathcal{R}(A, B)\) ，\(R\) 的逆关系 \(R^{-1} \in \mathcal{R}(B, A)\) 定义为

   \[R^{-1} := \{ (y, x) \mid (x, y) \in R \} \subseteq B \times A \]

   1. \((R^{-1})^{-1} = R\)

      证明：

      1. \(R \subseteq (R^{-1})^{-1}\)
      \[\forall (x, y) \in R \implies (y, x) \in R^{-1} \implies (x, y) \in (R^{-1})^{-1} \]
      2. \(R \supseteq (R^{-1})^{-1}\)
      \[\forall (x, y) \in (R^{-1})^{-1} \implies (y, x) \in R^{-1} \implies (x, y) \in R \]

      \(\square\)

   2. \(\forall R_1, R_2 \in \mathcal{R}(A, B) ,\quad R_1 \subseteq R_2 \implies R_{1}^{-1} \subseteq R_{2}^{-1}\)

      证明：

      \[(y, x) \in R_{1}^{-1} \implies (x, y) \in R_1 \subseteq R_2 \implies (y, x) \in R_{2}^{-1} \]

      \(\square\)

   3. $\forall R \in \mathcal{R}(A, B), S \in \mathcal{B, C} ,\quad (R \cup S)^{-1} = R^{-1} \cup S^{-1} $

      证明：

      \[<Empty \space Math \space Block> \]

   4. $\forall R \in \mathcal{R}(A, B), S \in \mathcal{B, C} ,\quad (R \cap S)^{-1} = R^{-1} \cap S^{-1} $

      证明：

3. 恒等关系

   对于集合 \(A\) ，定义 \(A\) 上的恒等关系

   \[ I_{A} := \{ (x, x) \mid x \in A \} \subseteq A \times A \]

4. 复合关系

   设 \(R \in \mathcal{R}(A, B),\ S \in \mathcal{R}(B, C)\) 。复合关系 \(S \circ R \in \mathcal{R}(A, C)\) 定义为

   \[S \circ R := \{ (a, c) \in A \times C \mid \exists b \in B ,\ (a, b) \in R \land (b, c) \in S \} \]

   注意 \(S \circ R\) 的顺序，这是 \(R\) 复合上 \(S\) 。

   1. 结合律：若 \(R \in \mathcal{R}(A, B), S \in \mathcal{R}(B, C), T \in \mathcal{R}(C, D)\) 则

      \[(T \circ S) \circ R = T \circ (S \circ R) \]

      证明：

      1. \((T \circ S) \circ R \subseteq T \circ (S \circ R)\)

         \[\begin{aligned} \forall (a, d) \in (T \circ S) \circ R &\implies \exists b \in B, (a, b) \in R \land (b, d) \in (T \circ S) \\ &\implies \exists c \in C, (b, c) \in S \land (c, d) \in T \\ &\implies (a, c) \in (S \circ R) \land (c, d) \in T \\ &\implies (a, d) \in T \circ (S \circ R) \end{aligned} \]

      2. \((T \circ S) \circ R \supseteq T \circ (S \circ R)\)

         \[\begin{aligned} \forall (a, d) \in T \circ (S \circ R) &\implies \exists c \in C, (a, c) \in (S \circ R) \land (c, d) \in T \\ &\implies \exists b \in B, (a, b) \in R \land (b, c) \in S \\ &\implies (b, d) \in (T \circ S) \land (a, b) \in R \\ &\implies (a, d) \in (T \circ S) \circ R \end{aligned} \]

      \(\square\)

   2. 单位元（与恒等的关系）：\(\forall R \in \mathcal{R}(A, B)\) ，有

      \[R \circ I_{A} = R ,\ I_{B} \circ R = R \]

      证明：

      \[\begin{aligned} \forall (a, b) \in R \circ I_{A} \implies (a, a) \in I_{A} \land (a, b) \in R \implies (a, b) \in R \end{aligned} \]
      \[\begin{aligned} \forall (a, b) \in R \implies (a, a) \in I_{A} \land (a, b) \in R \implies (a, b) \in R \circ I_{A} \end{aligned} \]
      \[\begin{aligned} \forall (a, b) \in I_{B} \circ R \implies (a, b) \in R \land (b, b) \in I_{B} \implies (a, b) \in R \end{aligned} \]
      \[\begin{aligned} \forall (a, b) \in R \implies (a, b) \in R \land (b, b) \in I_{B} \implies (a, b) \in I_{B} \circ R \end{aligned} \]

      \(\square\)

   3. 与逆的关系：\((S \circ R)^{-1} = R^{-1} \circ S^{-1}\)

      证明：

      1. \((S \circ R)^{-1} \subseteq R^{-1} \circ S^{-1}\)

         \[\begin{aligned} \forall (c, a) \in (S \circ R)^{-1} &\implies (a, c) \in S \circ R \\ &\implies \exists b, (a, b) \in R \land (b, c) \in S \\ &\implies (b, a) \in R^{-1} \land (c, b) \in S^{-1} \\ &\implies (c, a) \in R^{-1} \circ S^{-1} \end{aligned} \]

      2. \((S \circ R)^{-1} \supseteq R^{-1} \circ S^{-1}\)

         \[\begin{aligned} \forall (c, a) \in R^{-1} \circ S^{-1} &\implies \exists b, (c, b) \in S^{-1} \land (b, a) \in R^{-1} \\ &\implies (b, c) \in S \land (a, b) \in R \\ &\implies (a, c) \in S \circ R \\ &\implies (c, a) \in (S \circ R)^{-1} \\ \end{aligned} \]

      \(\square\)

   4. 对并的左分配律：若 \(R_1, R_2 \in \mathcal{R}(A, B), S \in \mathcal{R}(B, C)\) ，有

      \[S \circ (R_1 \cup R_2) = (S \circ R_1) \cup (S \circ R_2) \]

      证明：

      1. \(S \circ (R_1 \cup R_2) \subseteq (S \circ R_1) \cup (S \circ R_2)\)
      \[\begin{aligned} \forall (a, c) \in S \circ (R_1 \cup R_2) &\implies \exists b \in B, (a, b) \in R_1 \cup R_2 \land (b, c) \in S \\ &\implies ((a, b) \in R_1 \lor (a, b) \in R_2) \land (b, c) \in S \\ &\implies (a, c) \in S \circ R_1 \lor (a, c) \in S \circ R_2 \\ &\implies (a, c) \in (S \circ R_1) \cup (S \circ R_2) \\ \end{aligned} \]
      2. \(S \circ (R_1 \cup R_2) \supseteq (S \circ R_1) \cup (S \circ R_2)\)
      \[\begin{aligned} \forall (a, c) \in (S \circ R_1) \cup (S \circ R_2) &\implies (a, c) \in S \circ R_1 \lor (a, c) \in S \circ R_2 \\ &\implies ( \exists b_1 \in B, (a, b_1) \in R_1 \subseteq R_1 \cup R_2 ,\ (b_1, c) \in S ) \lor ( \exists b_2 \in B, (a, b_2) \in R_2 \subseteq R_1 \cup R_2 ,\ (b_2, c) \in S ) \\ &\implies ( \exists b_1 \in B, (a, b_1) \in R_1 \cup R_2 ,\ (b_1, c) \in S ) \lor ( \exists b_2 \in B, (a, b_2) \in R_1 \cup R_2 ,\ (b_2, c) \in S ) \\ &\implies (a, c) \in S \circ (R_1 \cup R_2) \lor (a, c) \in S \circ (R_1 \cup R_2) \\ &\implies (a, c) \in \left ( ( S \circ (R_1 \cup R_2) ) \cup ( S \circ (R_1 \cup R_2) ) \right )\\ &\implies (a, c) \in S \circ (R_1 \cup R_2) \\ \end{aligned} \]

      \(\square\)

   5. 对并的右分配律：若 \(R \in \mathcal{R}(A, B), S_1, S_2 \in \mathcal{R}(B, C)\) ，有

      \[(S_1 \cup S_2) \circ R = (S_1 \circ R) \cup (S_2 \circ R) \]

      证明：

      1. \((S_1 \cup S_2) \circ R \subseteq (S_1 \circ R) \cup (S_2 \circ R)\)
      \[\begin{aligned} \forall (a, c) \in (S_1 \cup S_2) \circ R &\implies \exists b \in B, (b, c) \in S_1 \cup S_2 \land (a, b) \in R \\ &\implies ((b, c) \in S_1 \lor (b, c) \in S_2) \land (a, b) \in R \\ &\implies (a, c) \in S_1 \circ R \lor (a, c) \in S_1 \circ R \\ &\implies (a, c) \in (S_1 \circ R) \cup (S_1 \circ R) \\ \end{aligned} \]
      \[\begin{aligned} \end{aligned} \]

   6. 对交的左单调性：若 \(R_1, R_2 \in \mathcal{R}(A, B), S \in \mathcal{R}(B, C)\) ，有

      \[S \circ (R_1 \cap R_2) \subseteq (S \circ R_1) \cup (S \circ R_2) \]

      证明：

      \[\begin{aligned} \forall (a, c) \in S \circ (R_1 \cap R_2) &\implies \exists b \in B, (a, b) \in R_1 \cap R_2 \land (b, c) \in S \\ &\implies (a, b) \in R_1 \land (a, b) \in R_2 \land (b, c) \in S \\ &\implies (a, c) \in R_1 \circ S \land (a, c) \in R_2 \circ S \\ &\implies (a, c) \in (R_1 \circ S) \cap (R_2 \circ S) \\ \end{aligned} \]

      \(\square\)

   7. 对交的右单调性：若 \(R \in \mathcal{R}(A, B), S_1, S_2 \in \mathcal{R}(B, C)\) ，有

      \[(S_1 \cap S_2) \circ R \subseteq (S_1 \circ R) \cup (S_2 \circ R) \]

      证明：

      \[\begin{aligned} \forall (a, c) \in (S_1 \cap S_2) \circ R &\implies \exists b \in B, (a, b) \in R \land (b, c) \in S_1 \cap S_2 \\ &\implies (a, b) \in R \land (b, c) \in S_1 \land (b, c) \in S_2 \\ &\implies (a, c) \in R \circ S_1 \land (a, c) \in R \circ S_2 \\ &\implies (a, c) \in (R \circ S_1) \cap (R \circ S_2) \\ \end{aligned} \]

      \(\square\)

5. 限制（Restriction）

   对于 \(R \in \mathcal{R}(A, B), A^{'} \subseteq A, B^{'} \subseteq B\) ：

   • 定义域限制

     \[R \restriction A^{'} := \{ (a, b) \in R \mid a \in A^{'} \} \in \mathcal{R}(A, B) \]

     读作：\(R\) 在定义域限制到 \(A^{'}\) （这个动作的结果是一个 \(A\) 到 \(B\) 上的关系，或者说 \(A\) 和 \(B\) 的笛卡尔积 \(A \times B\) 上的子集）。

   • 值域限制

     \[R \restriction^{B^{'}} := \{ (a, b) \in R \mid b \in B^{'} \} \in \mathcal{R}(A, B) \]

     读作：\(R\) 在值域限制到 \(B^{'}\) 。

   • 双重限制

     \[R \cap (A^{'} \times B^{'}) := \{ (a, b) \in R \mid a \in A^{'} \land b \in B^{'} \} \in \mathcal{R}(A, B) \]

     读作：\(R\) 在定义域到 \(A^{'}\) 且值域限制到 \(B^{'}\) 。或者 \(R\) 双重限制到 \(A^{'} \times B^{'}\) 。

     通常提到限制并不特指某种限制时，没有上下文的情况下则是双重限制

   性质：

   1. \(\operatorname{dom}(R \restriction A^{'}) = \operatorname{dom}(R) \cap A^{'}\)

      证明：

      \[\begin{aligned} a \in \operatorname{dom}(R \restriction A^{'}) &\implies a \in A \land \exists b \in B .\ (a, b) \in R \restriction A^{'} \\ &\implies a \in A \land (a, b) \in R \land a \in A^{'} \\ &\implies a \in \operatorname{dom}(R) \land a \in A^{'} \\ &\implies a \in ( \operatorname{dom}(R) \cap A^{'}) \\ \end{aligned} \]
      \[\begin{aligned} a \in ( \operatorname{dom}(R) \cap A^{'}) &\implies a \in \operatorname{dom}(R) \land a \in A^{'} \\ &\implies a \in A \land \exists b \in B .\ (a, b) \in R \land a \in A^{'} \\ &\implies a \in A \land (a, b) \in R \restriction A^{'} \\ &\implies a \in \operatorname{dom}( R \restriction A^{'} )\\ \end{aligned} \]

      \(\square\)

   2. \(\operatorname{ran}(R \restriction^{ B^{'} }) = \operatorname{ran}(R) \cap B^{'}\)

      证明：

      \[\begin{aligned} b \in \operatorname{ran}(R \restriction^{ B^{'} }) &\implies b \in B \land \exists a \in A .\ (a, b) \in R \restriction^{ B^{'} } \\ &\implies b \in B \land (a, b) \in R \land b \in B^{'} \\ &\implies b \in \operatorname{ran}(R) \land b \in B^{'} \\ &\implies b \in (\operatorname{ran}(R) \cap B^{'}) \\ \end{aligned} \]
      \[\begin{aligned} b \in (\operatorname{ran}(R) \cap B^{'}) &\implies b \in \operatorname{ran}(R) \land b \in B^{'} \\ &\implies b \in B \land (a, b) \in R \land b \in B^{'} \\ &\implies b \in B \land (a, b) \in R \restriction^{ B^{'} } \\ &\implies b \in \operatorname{ran}(R \restriction^{ B^{'} }) \\ \end{aligned} \]

      \(\square\)

   3. 幂等律：

      1. 定义域限制到同一子集幂等：\((R \restriction A^{'}) \restriction A^{'} = R \restriction A^{'}\)

         证明：

         1. \((R \restriction A^{'}) \restriction A^{'} \subseteq R \restriction A^{'}\)
         \[\begin{aligned} (a, b) \in (R \restriction A^{'}) \restriction A^{'} &\implies (a, b) \in (R \restriction A^{'}) \land a \in A^{'} \\ &\implies((a, b) \in R \land a \in A^{'} \land a \in A^{'} \\ &\implies (a, b) \in R \land a \in A^{'} \cap A^{'} \\ &\implies (a, b) \in R \land a \in A^{'} \\ &\implies (a, b) \in R \restriction A^{'} \\ \end{aligned} \]

      2. 值域限制到同一子集幂等：\((R \restriction^{ B^{'} }) \restriction^{ B^{'} } = R \restriction^{ B^{'} }\)

         证明：

         1. \((R \restriction^{ B^{'} }) \restriction^{ B^{'} } \subseteq R \restriction^{ B^{'} }\)
         \[\begin{aligned} (a, b) \in (R \restriction A^{'}) \restriction A^{'} &\implies (a, b) \in (R \restriction A^{'}) \land a \in A^{'} \\ &\implies((a, b) \in R \land a \in A^{'} \land a \in A^{'} \\ &\implies (a, b) \in R \land a \in A^{'} \cap A^{'} \\ &\implies (a, b) \in R \land a \in A^{'} \\ &\implies (a, b) \in R \restriction A^{'} \\ \end{aligned} \]

      3. 值域限制到同一子集幂等：\(\left ( R \cap (A^{'} \times B^{'}) \right ) \cap (A^{'} \times B^{'}) = R \cap (A^{'} \times B^{'})\)

         证明：

         由集合交是幂等的（如果我们学过集合运算，我们可以承认），有

         \[\begin{aligned} \left ( R \cap (A^{'} \times B^{'}) \right ) \cap (A^{'} \times B^{'}) = R \cap \left ( A^{'} \times (B^{'})) \cap (A^{'} \times B^{'}) \right ) = R \cap (A^{'} \times B^{'}) \end{aligned} \]

         \(\square\)

6. 像与逆像

   对于 \(R \in \mathcal{R}(A, B), X \subseteq A, Y \subseteq B\) ，定义：

   • 像： \(R[X] := \{ b \in B \mid \exists a \in X .\ (a, b) \in R \}\)

   • 逆像： \(R^{-1}[Y] := \{ a \in A \mid \exists b \in T .\ (a, b) \in R \}\)

   特别的，可以发现\(\operatorname{dom}(R) = R^{-1}[B] ,\ \operatorname{ran}(R) = R[A]\) 。这说明二元关系的定义域和值域是像的更特殊化（像的输入是可变的）。

   1. 对定义域集合运算的性质：

      1. \(R[X_1 \cup X_2] = R[X_1] \cup R[X_2]\)

         证明：

         1. \(R[X_1 \cup X_2] \subseteq R[X_1] \cup R[X_2]\)
         \[\begin{aligned} b \in R[X_1 \cup X_2] &\implies b \in B \land \exists a \in X_1 \cup X_2 .\ (a, b) \in R \\ &\implies b \in B \land (a \in X_1 \lor a \in X_2) \land (a, b) \in R \\ &\implies ( b \in B \land a \in X_1 \land (a, b) \in R ) \lor ( b \in B \land a \in X_2 \land (a, b) \in R ) \\ &\implies b \in R[X_1] \lor b \in R[X_2] \\ &\implies b \in R[X_1] \cup R[X_2] \\ \end{aligned} \]
         2. \(R[X_1 \cup X_2] \supseteq R[X_1] \cup R[X_2]\)
         \[\begin{aligned} b \in R[X_1] \cup R[X_2] &\implies b \in R[X_1] \lor b \in R[X_2] \\ &\implies ( b \in B \land \exists a_1 \in X_1 \subseteq X_1 \cup X_2 .\ (a, b) \in R ) \lor ( b \in B \land \exists a_2 \in X_2 \subseteq X_1 \cup X_2 .\ (a, b) \in R ) \\ &\implies b \in R[X_1 \cup X_2] \lor b \in R[X_1 \cup X_2] \\ &\implies b \in ( R[X_1 \cup X_2] \cup R[X_1 \cup X_2] ) \\ &\implies b \in R[X_1 \cup X_2] \\ \end{aligned} \]

         \(\square\)

      2. \(R[X_1 \cap X_2] \subseteq R[X_1] \cap R[X_2]\)

         证明：

         \[\begin{aligned} b \in R[X_1 \cap X_2] &\implies b \in B \land \exists a \in X_1 \cap X_2 .\ (a, b) \in R \\ &\implies b \in B \land (a \in X_1 \land a \in X_2) \land (a, b) \in R \\ &\implies ( b \in B \land a \in X_1 \land (a, b) \in R ) \land ( b \in B \land a \in X_2 \land (a, b) \in R ) \\ &\implies b \in R[X_1] \land b \in R[X_2] \\ &\implies b \in R[X_1] \cap R[X_2] \\ \end{aligned} \]

         \(\square\)

      3. \(X_1 \subseteq X_2 \implies R[X_1] \subseteq R[X_2]\)

         证明：

         \[\begin{aligned} b \in R[X_1] ,\ X_2 \subseteq X_2 &\implies b \in B \land \exists a \in X_1 .\ (a, b) \in R ,\ X_1 \subseteq X_2 \\ &\implies b \in B \land \exists a \in X_2 .\ (a, b) \in R \\ &\implies b \in R[X_2] \end{aligned} \]

         \(\square\)

   2. 对关系运算的性质：

      1. \(R_1, R_2 \in \mathcal{R}(A, B) ,\ (R_1 \cup R_2)[X] = R_1[X] \cup R_2[X]\)

      2. \(R_1, R_2 \in \mathcal{R}(A, B) ,\ (R_1 \cap R_2)[X] \subseteq R_1[X] \cap R_2[X]\)

      3. \(R_1, R_2 \in \mathcal{R}(A, B) ,\ R^{c}[X] \supseteq (R[x])^{c}\)

      4. \(R \in \mathcal{R}(A, B) ,\ S \in \mathcal{R}(B, C) .\ (S \circ R)[X] = S[R[X]]\)

   3. 对关系限制的性质：

      1. \((R \restriction A^{'})[X] = R[X \cap A^{'}]\)

      2. \((R \restriction^{ B^{'} })[X]\) = R[X] \cap B^

关系矩阵（有限集合下）

设 \(A = \{ a_1, \cdots, a_{m < \infty } \}, B = \{ b_1, \cdots, b_{n < \infty } \}, R \in \mathcal{R}(A, B)\) ，布尔矩阵 \(M_{R} \in \{0, 1\}^{m \times n}\) 为：

\[(M_{R})_{ij} = 1 \iff (a_i, b_j) \in R \]

1. "并/交/补"对应"布尔运算（或与非）"

   1. \(\forall R_1, R_2 \in \mathcal{R}(A, B) ,\quad M_{R_1 \cup R_2} = M_{R_1} \lor M_{R_2}\)

      证明：

      \[\begin{aligned} (a_i, b_i) \in R_1 \cup R_2 &\implies (a_i, b_i) \in R_1 \lor (a_i, b_i) \in R_2 \\ &\implies (M_{R_1 \cup R_2})_{i, j} = 1 \to (M_{R_1})_{i, j} = 1 \lor (M_{R_2})_{i, j} = 1 \end{aligned} \]
      \[\begin{aligned} (a_i, b_i) \in R_1 \lor (a_i, b_i) \in R_2 &\implies (a_i, b_i) \in R_1 \cup R_2 \\ &\implies (M_{R_1})_{i, j} = 1 \lor (M_{R_2})_{i, j} = 1 \to (M_{R_1 \cup R_2})_{i, j} = 1 \end{aligned} \]

      \(\square\)

   2. \(\forall R_1, R_2 \in \mathcal{R}(A, B) ,\quad M_{R_1 \cap R_2} = M_{R_1} \land M_{R_2}\)

      证明：

      \[\begin{aligned} (a_i, b_j) \in R_1 \cap R_2 &\implies (a_i, b_j) \in R_1 \land (a_i, b_j) \in R_2 \\ &\implies (M_{R_1 \cap R_2})_{ij} = 1 \to (M_{R_1})_{ij} = 1 \land (M_{R_2})_{ij} = 1 \\ \end{aligned} \]
      \[\begin{aligned} (a_i, b_j) \in R_1 \land (a_i, b_j) \in R_2 &\implies (a_i, b_j) \in R_1 \cap R_2 \\ &\implies (M_{R_1})_{ij} = 1 \land (M_{R_2})_{ij} = 1 \to (M_{R_1 \cap R_2})_{ij} = 1 \\ \end{aligned} \]

      \(\square\)

   3. \(\forall R \in \mathcal{R}(A, B) ,\quad M_{R^{c}} = \lnot M_{R}\)

      证明：

      \[\begin{aligned} (a_i, b_j) \in R^{c} &\implies (a_i, b_j) \not \in R \\ &\implies (M_{R^{c}})_{ij} = 1 \to (M_{R})_{ij} = 0 \\ &\implies (M_{R^{c}})_{ij} = 1 \to \lnot ( (M_{R})_{ij} = 1 ) \\ \end{aligned} \]
      \[\begin{aligned} (a_i, b_j) \not \in R &\implies (a_i, b_j) \in R^{c} \\ &\implies (M_{R})_{ij} = 0 \to (M_{R^{c}})_{ij} = 1 \\ &\implies \lnot ( (M_{R})_{ij} = 1 ) \to (M_{R^{c}})_{ij} = 1 \\ \end{aligned} \]

      \(\square\)

2. 逆：\(M_{R^{-1}} = (M_{R})^{T}\)

   证明：

   \[\begin{aligned} \left ( (b_j, a_i) \in R^{-1} \iff (M_{R^{-1}})_{ji} = 1 \right ) &\implies \left ( (a_i, b_j) \in R \iff (M_{R})_{ij} = 1 \right ) \\ &\implies (M_{R^{-1}})_{ji} = 1 \to (M_{R})_{ij} = 1 \\ \end{aligned} \]
   \[\begin{aligned} \left ( (a_i, b_j) \in R \iff (M_{R})_{ij} = 1 \right ) &\implies \left ( (b_j, a_i) \in R^{-1} \iff (M_{R^{-1}})_{ji} = 1 \right ) \\ &\implies (M_{R})_{ij} = 1 \to (M_{R^{-1}})_{ji} = 1 \\ \end{aligned} \]
   \[\left ( (M_{R^{-1}})_{ji} = 1 \longleftrightarrow \left ( (M_{R})_{ij} = 1 \longleftrightarrow (M_{R}^{T})_{ji} = 1 \right ) \right ) \implies M_{R^{-1}} = M_{R}^{T} \]

   \(\square\)

3. 乘法（复合）

   \[\forall R \in \mathcal{R}(A, B), S \in \mathcal{R}(B, C) ,\quad M_{S \circ R} = M_{R} \odot M_{S} \]

   其中 \(\odot\) 是布尔矩阵乘法：

   \[(M_{S} \odot M_{R})_{ik} = \bigvee_{j = 1}^{n}((M_{S})_{ij} \land (M_{R})_{jk}) \]

   证明：

   设 \(C = \{c_1, \cdots, c_p\}\) ，则

   \[\begin{aligned} &(a_i, c_k) \in (S \circ R) ,\ \exists j .\ (a_i, b_j) \in S \land (b_j, c_k) \in R \\ &\implies (a_i, c_k) \in (S \circ R) \to \bigvee_{j = 1}^{n} ( (a_i, b_j) \in R \land (b_j, c_k) ) \in S \\ &\implies (M_{S \circ R})_{ik} = 1 \to \bigvee_{j = 1}^{n} ( (M_{S})_{ij} = 1 \land (M_{R})_{jk} ) = 1 \end{aligned} \]
   \[\begin{aligned} &\forall j ,\ (a_i, b_j) \not \in S \lor (b_j, c_k) \not \in R .\ (a_i, c_k) \not \in (R \circ S) \ \\ &\implies \bigwedge_{j = 1}^{n} ( (a_i, b_j) \not \in S \lor (b_j, c_k) \not \in R ) \to (a_i, c_k) \not \in (S \circ R) \\ &\implies \bigwedge_{j = 1}^{n} ( (M_{S})_{ij} = 0 \lor (M_{R})_{jk} = 0 ) \to (M_{S \circ R})_{ik} = 0 \\ &\implies \lnot ( \bigwedge_{j = 1}^{n} ( (M_{S})_{ij} = 0 \lor (M_{R})_{jk} = 0 ) ) \to \lnot ( (M_{S \circ R})_{ik} = 0 ) \\ &\implies \bigvee_{j = 1}^{n} ( (M_{S})_{ij} = 1 \land (M_{R})_{jk} = 1 ) \to (M_{S \circ R})_{ik} = 1 \\ \end{aligned} \]

   \(\square\)

集合 \(A\) 上的二元关系

特别的，若 \(A = B\) ，则称 \(R\) 为集合 \(A\) 上的二元关系。这种特殊情况（单个集合，二元关系）简称集合上的关系。

1. 特殊写法（暗示 \(a, b\) 属于同一个集合 \(X\) ）

   设 \(X\) 是一个集合，\(X\) 上的一个关系 \(R\) ，是 \(X\) 子集的笛卡尔积 \(X \times X\) 的子集 \(R \subseteq X \times X\) ，通常有以下写法：

   1. \((a, b) \in R\) 写作 \(a \mathrel{R} b\) ，称 \(a\) 和 \(b\) 满足关系 \(R\) 。（前者一般称作二元组 \((a, b)\) 属于关系 \(R\) ）

   2. \((a, b) \not \in R\) 写作 \(a \mathrel{\not R} b\) ，称 \(a\) 和 \(b\) 不满足关系 \(R\) 。

2. 性质

   • 自反：\(\forall x \in X, \quad x \mathrel{R} x\) ，则 \(R\) 是自反的。

   • 反自反：\(\forall x \in X, \quad x \mathrel{\not R} x\) ，则 \(R\) 是反自反的。

   • 对称：\(\forall x, y \in X, \quad x \mathrel{R} y \implies y \mathrel{R} x\) ，则 \(R\) 是对称的。

   • 反对称：\(\forall x, y \in X, \ x \neq y, \quad x \mathrel{R} y \implies y \mathrel{\not R} x\) ，则 \(R\) 是反对称的。

     • 等价的，\(\forall x, y \in X, \quad x \mathrel{R} y \implies y \mathrel{R} x \iff x = y\) ，则 \(R\) 是反对称的。

   • 传递：\(\forall x, y, z \in X, \quad x \mathrel{R} y \land y \mathrel{R} z \implies x \mathrel{R} z\) ，则 \(R\) 是传递的。

3. 幂运算

   对于 \(R \in \mathcal{R}(X)\) ，\(R\) 的幂运算定义为

   \[R^{0} = I_{X} ,\ R^{n + 1} = R^{n} \circ R \]

   实际上 \(X\) 上的关系 \(R\) 的 \(k\) 次幂就是 \(R\) 的 \(k\) 次复合。

   由结合律可扩展 \(R^{m + n} = R^{m} \circ R^{n}\) 。

   关系幂的像：

   \[ R^{n}[X] = (R \circ \cdots \circ R)[X] = \underbrace{R[R[ \cdots R[X] \cdots ]]}_{\text{n'times} \ R[]} \]

4. 闭包

   定义，\(\forall R \in \mathcal{R}(X)\) 有：

   1. 自反闭包（reflexive Closure）：\(r(R) = R \cup I_{X}\) 。

      读作 \(X\) 上的关系 \(R\) 的自反闭包，或者简读做 \(R\) 的自反闭包。

      性质：\(r(R)\) 是包含 \(R\) 的最小自反关系，即任意包含 \(R\) 的自反关系 \(R^{'}\) 总满足 \(r(R) \subseteq R^{'}\) 。

      证明：

      1. 自反性

         \[\forall x \in X ,\ (x, x) \in I_{X} \land I_{X} \subseteq r(R) \implies \forall x \in X ,\ (x, x) \in r(R) \]

      2. 最小性

         任取 \(R^{'}\) 是自反关系且满足 \(R^{'} \supseteq R\) ，则有 \(I_{X} \subseteq R^{'}\) ，于是 \(r(R) = R \cup I_{X} \subseteq R^{'} \cup R^{'} = R^{'}\) 。

      \(\square\)

   2. 对称闭包（Symmetric Closure）：\(s(R) = R \cup R^{-1}\) 。

      性质：\(s(R)\) 是包含 \(R\) 的最小对称关系

      证明：

      1. 对称性

         \[\begin{aligned} \forall (a, b) \in s(R) &\implies (a, b) \in R \lor (a, b) \in R^{-1} \\ &\implies (b, a) \in R^{-1} \subseteq s(R) \lor (b, a) \in R \subseteq s(R) \\ &\implies (b, a) \in s(R) \lor (b, a) \in s(R) \\ &\implies (b, a) ( \in s(R) \cup s(R) ) \\ &\implies (b, a) \in s(R) \\ \end{aligned} \]

      2. 最小性

         任取 \(R^{'}\) 是对称关系且满足 \(R^{'} \supseteq R\) ，任取 \((a, b) \in R^{-1}\) ，则 \((b, a) \in R \subseteq R^{'}\) ，再由对称性有 \((a, b) \in R^{'}\) ，即 \(R^{-1} \subseteq R^{'}\) 。于是 \(s(R) = R \cup R^{-1} \subseteq R^{'} \cup R^{'} = R^{'}\)

      \(\square\)

   3. 传递闭包（Transitive Closure \(X\) 的基数不要求有限）：\(t(R) = \bigcup_{n = 1}^{|X|} R^{n} = R \cup R^{2} \cup \cdots R^{|X|}\) ，即任意包含 \(R\) 的传递关系 \(R^{'}\) 总满足 \(t(R) \subseteq R^{'}\) 。

      性质：\(t(R)\) 是包含 \(R\) 的最小传递关系

      证明：

      1. 传递性

         \[(a, b), (b, c) \in t(R) \implies \exists p, q \in \mathbb{N}_{0} ,\ p + q \leq |X| .\ (a, b) \in R^{p}, (b, c) \in R^{q} \implies (a, c) \in R^{p + q} \in t(R) \]

      2. 最小性

         任取 \(R^{'}\) 是传递关系且满足 \(R^{'} \supseteq R\) ，要证 \(t(R) \subseteq R^{'}\) ，只需证 \(\forall n \geq 1 .\ R^{n} \subseteq R^{'}\) 。我们用归纳假设：

         • \(n = 1 .\ R^{1} = R \subseteq R^{'}\) 。
         • \(n \geq 2, R^{n - 1} \subseteq R^{'}\) 。任取 \((a, c) \in R^{n}\) 则存在 \(b\) 使 \((a, b) \in R^{n - 1} \land (b, c) \in R\) 。由归纳假设有 \((a, b) \in R^{'}\) ，已知 \((b, c) \in R \subseteq R^{'}\) 。由 \(R^{'}\) 传递于是 \((a, c) \in R^{'}\) 。即 \(R^{n} \in R^{'}\) 。

      \(\square\)

   注：\(R\) 的闭包，输入一个关系 \(R\) ，输出一个关系。

偏序关系

若集合 \(P\) 上的一个关系 \(R \subseteq \mathcal{R}(P)\) 是自反、反对称、传递的，则 \(R\) 是一个偏序关系，简称偏序，常用符号 \(\leq\) 表示。

1. 自反性：\(\forall x \in \leq ,\quad x \mathrel{\sim} x\)

2. 反对称性：\(\forall x, y \in \leq ,\quad x \mathrel{\sim} y \implies y \mathrel{\not \sim} x\)

   • 或者说 \(\forall x, y \in \leq ,\quad x \mathrel{\sim} y ,\ y \mathrel{\sim} x \implies x = y\)

3. 传递性：\(\forall x, y, z \in \leq ,\quad x \mathrel{\sim} y , y \mathrel{\sim} z \implies x \mathrel{\sim} z\)

集合 \(P\) 和这个偏序关系 \(\leq\) 一起，称为一个偏序集，记作 \((P, \leq)\) 。

注：偏序关系 \(\leq\) 不是一个二元运算符，即偏序即 \((P, \leq)\) 不是群。

1. 常见偏序集

   1. 整数集上的整除关系 \(\mid\) 是偏序，\((\mathbb{N}, \mid)\) 是一个偏序集。

   2. 实数集上的小于关系 \(<\) 是偏序，\((\mathbb{R}, <)\) 是一个偏序集。

   3. 集合 \(S\) 的幂集 \(\mathcal{P}(S)\) 中的真包含关系 \(\subset\) 是偏序，\((\mathcal{P}(S), \subset)\) 是一个偏序集。

   4. 字符串集上的字典序关系 \(\leq\) 是偏序，\((\text{String}, \leq)\) 是一个偏序集。

2. 相关的序关系

   1. 严格偏序

      1. 定义：

         若集合 \(P\) 上的一个关系 \(R \subseteq \mathcal{R}(P)\) 是反自反、反对称、传递的，则 \(R\) 是一个偏序关系，简称偏序，常用符号 \(<\) 表示。

         1. 反自反性：\(\forall x \in < ,\quad x \mathrel{\not \sim} x\)

         2. 反对称性：\(\forall x, y \in < ,\quad x \mathrel{\sim} y \implies y \mathrel{\not \sim} x\)

            • 或者说 \(\forall x, y \in < ,\quad x \mathrel{\sim} y ,\ y \mathrel{\sim} x \implies x = y\)

         3. 传递性：\(\forall x, y, z \in < ,\quad x \mathrel{\sim} y , y \mathrel{\sim} z \implies x \mathrel{\sim} z\)

         集合 \(P\) 和这个严格偏序关系 \(<\) 一起，称为一个偏序集，记作 \((P, <)\) 。

         由于有严格偏序，偏序实际上也称为并默认为非严格偏序。

      2. 偏序和严格偏序可以互相定义（互推）

         1. 偏序可以定义出严格偏序
         \[a \leq b \land a \neq b \implies a \leq b \]
         2. 严格偏序可以定义出偏序
         \[a < b \lor a = b \implies a \leq b \]

         这意味着我们只需要有一个偏序就可以得到出对应的严格偏序，或者只需要有一个严格偏序就可以得到对应的偏序。

   2. 对偶序

      若有偏序 \(\forall a, b \in P ,\ a \leq b\) ，则自然存在一个偏序 \(\forall a, b \in P ,\ b \geq a\) ，此处 \(\geq\) 是 \(\leq\) 的对偶序，\((P, \leq)\) 的对偶偏序集是 \((P, \geq)\) 。

   3. 继承序（诱导序、限制序）

      1. 定义

         设 \(P, \preceq_{P}\) 是一个偏序集，其中 \(\preceq_{P} \subseteq P \times P\) 。对任意 \(S \subseteq P\) ，定义 \(S\) 上的二元关系 \(\preceq_{P}\) 在 \(S\) 上的限制：

         \[\preceq_{S} := \preceq_{P} \cap (S \times S) = \{ (x, y) \in S \mid x \prec_{P} y \} \]

         则称 \(\preceq_{S}\) 为 \(\preceq_{P}\) 在 \(S\) 上诱导的序（在 \(S\) 继承的/限制的序）。\((S, \preceq_{S})\) 称为 \((P, \preceq_{P})\) 诱导/继承/限制的子偏序集。

      2. 等价定义（判断准则）

         \(S \subseteq P\) 。若 \((S, \preceq_{S})\) 是偏序集 \((P, \preceq_{P})\) 诱导的子偏序集，当且仅当

         \[\forall x, y \in S ,\ x \mathrel{ \preceq_{S} } y \iff x \mathrel{ \preceq_{P} }y \]

         证明：

         必要性。若 \(x \mathrel{ \preceq_{S} } y\) ，由继承序的直接定义 \(\preceq_{S} = \preceq_{P} \cap (S \times S)\) 有 \((x, y) \in \preceq_{S} \subseteq \preceq_{P}\) ，于是 \(x \mathrel{ \preceq_{P} } y\) 。

         充分性。若 \(x \mathrel{ \preceq_{P} } y\) ， 则 \((x, y) \in \preceq_{P}\) ，由 \(x, y \in S\) 则 \((x, y) \in S \times S\) 。于是 \((x, y) \in \preceq_{P} \cap (S \times S) = \preceq_{S}\) ，故 \(x \mathrel{ \preceq_{S} } y\) 。

         \(\square\)

      3. 继承序保持序公理

         1. 设 \((P, \preceq_{P})\) 是偏序集，\(S \subseteq P\) ，\(\preceq_{S}\) 为 \(P\) 在 \(S\) 上诱导的继承序。则 \((S, \preceq_{S})\) 也是偏序集。

            证明：

            1. 自反性：\(\forall x \in S \subseteq P ,\ x \mathrel{ \preceq_{P} } x\) ，则由诱导序的判断准则（等价定义）有 \(x \in P ,\ x \mathrel{ \preceq_{S} } x\) 。

            2. 反对称性：\(\forall x, y \in S \subseteq P ,\ x \mathrel{ \preceq_{P} } y \land y \mathrel{ \not \preceq_{P} } x\) ，有诱导序的判断准则有 \(x \mathrel{ \preceq_{S} } y \land y \mathrel{ \not \preceq_{S} } x\) 。

            3. 传递性：\(\forall x, y, z \in S \subseteq P ,\ x \mathrel{ \preceq_{P} } y ,\ y \mathrel{ \preceq_{P} } z \implies x \mathrel{ \preceq_{P} } z\) ，由诱导序的判断准则有 \(\mathrel{ \preceq_{S} } y ,\ y \mathrel{ \preceq_{S} } z \implies x \mathrel{ \preceq_{S} } z\) 。（因为诱导序的判断准则里是 \(\iff\) ，我们不难画出这种逻辑结构）。

            \(\square\)

         2. 若 \((P, \preceq_{P})\) 是全序集，则 \((S, \preceq_{S})\) 也是全序集。（全序集定义在后，但可以证明）

            证明：

            首先我们已知 \((S, \preceq_{S})\) 是偏序集，即满足自反、反对称、传递，只需证 \(S\) 中任意两个元素可比。

            任取 \(x, y \in S \subseteq P\) ，由 \(\preceq_{P}\) 是全序有 \(x \mathrel{\preceq_{P}} y \lor y \mathrel{\preceq_{P}} x\) ，进而有 \(x \mathrel{\preceq_{S}} y \lor x \mathrel{\preceq_{S}} y\) 。

            \(\square\)

         3. 若 \((P, \preceq_{P})\) 是良序集，则 \((S, \preceq_{S})\) 也是良序集。（良序集定义在后，但可以证明）

            证明：

            首先我们已知 \((S, \preceq_{S})\) 是全序集，即满足自反、反对称、传递、任意两个元素可比。只需证 \(S\) 的任意非空子集 \(\emptyset \subset A \subseteq S\) 有最小元。

            任取 \(S\) 的非空子集 \(A\) 满足 \(\emptyset \subset A \subseteq S \subseteq P\) ，由 \(\preceq_{P}\) 是良序且 \(A\) 是 \(P\) 的子集，有 \(\forall x \in A \subseteq P ,\ \exists y \in A \subseteq P .\ y \mathrel{\preceq_{S}} x\) 。于是 \(\preceq_{S}\) 是良序。

            \(\square\)

3. 可比与不可比

   对于偏序集 \((P, \leq)\)，\(a, b \in P\) 称为可比的，如果

   \[a \leq b \lor b \leq a \]

   否则称为不可比的，即

   \[a \not \leq b \land b \not \leq a \]

4. 偏序集上的覆盖关系

   对于偏序集 \((P, \leq)\)，\(a, b \in P\) ，称 \(b\) 覆盖 \(a\) ，如果

   \[a < b \land (\not \exists c \in P .\ a < c < b) \]

   记作 \(a \prec b\) 或 \(a \mathrel{<:} b\) 。

   直观理解，\(b\) 覆盖 \(a\) 则 \(b\) 是 \(a\) 在偏序集上的后继（下一条直接连的遍）。

   显然易证覆盖是不传递的，即每条“覆盖”边在关系图中必然是一个桥。

5. 特殊元素

   1. 极大元和极小元

      对于偏序集 \((P, \leq)\) ，取 \(P\) 的子集 \(S \subseteq P\) ，若 \(a\) 是 \(S\) 的极大元，当且仅当不存在一个 \(b\) 满足 \(a < b\) 。即

      \[a \in P \ \text{是 S 的极大元} \ \iff \not \exists b \in P .\ a < b \]

      对于偏序集 \((P, \leq)\) ，取 \(P\) 的子集 \(S \subseteq P\) ，若 \(a\) 是 \(S\) 的极小元，当且仅当不存在一个 \(b\) 满足 \(b < a\) 。即

      \[a \in P \ \text{是 S 的极小元} \ \iff \not \exists b \in P .\ b < a \]

   2. 最大元和最小元

      对于偏序集 \((P, \leq)\) ，取 \(P\) 的子集 \(S \subseteq P\) ，若 \(a\) 是 \(S\) 的最大元，当且仅当所有 \(b\) 满足 \(b \leq a\) 。即

      \[a \in P \ \text{是最大元} \ \iff \forall b \in P .\ b \leq a \]

      对于偏序集 \((P, \leq)\) ，取 \(P\) 的子集 \(S \subseteq P\) ，若 \(a\) 是 \(S\) 的最小元，当且仅当所有 \(b\) 满足 \(a \leq b\) 。即

      \[a \in P \ \text{是最小元} \ \iff \forall b \in P .\ a \leq b \]

      注：我们可能会以为最大元和最小元看似一样，实际上极大元不要求和其他元素都可比，而最大元要求和其他元素都可比。

   3. 偏序集子集的上界和下界

      对于偏序集 \((P, \leq)\) ，取 \(P\) 的子集 \(S \subseteq P\) ，\(P\) 中的一个元素 \(a \in P\) 是 \(S\) 的上界，当且仅当 \(S\) 中的所有元素 \(s \in S\) 满足 \(s \leq u\) 。即

      \[u \in P \ \text{是 S 的上界} \ \iff \forall s \in S .\ s \leq u \]

      对于偏序集 \((P, \leq)\) ，取 \(P\) 的子集 \(S \subseteq P\) ，\(P\) 中的一个元素 \(a \in P\) 是 \(S\) 的下界，当且仅当 \(S\) 中的所有元素 \(s \in S\) 满足 \(u \leq s\) 。即

      \[u \in P \ \text{是 S 的下界} \ \iff \forall s \in S .\ u \leq s \]

   4. 偏序集子集的上确界（最小上界）和下确界（最大下界）

      对于偏序集 \((P, \leq)\) ，取 \(P\) 的子集 \(S \subseteq P\) ，\(S\) 的上确界是 \(S\) 的最小上界，写作 \(\operatorname{sup} S\) （supremum，最高的），即：

      \[\operatorname{sup}(S) = \underset{ u \in P \ \text{是 S 的上界} }{\operatorname{min}} u \leq \forall v \in \{ u \mid \forall s \in S .\ s \leq u \} \]

      对于偏序集 \((P, \leq)\) ，取 \(P\) 的子集 \(S \subseteq P\) ，\(S\) 的下确界是 \(S\) 的最大上界，写作 \(\operatorname{inf} S\) （infimum，最低的），即：

      \[\operatorname{inf}(S) = \underset{ u \in P \ \text{是 S 的下界} }{\operatorname{max}} u \leq \forall v \in \{ u \mid \forall s \in S .\ u \leq s \} \]

      注：更直观的。如果上确界存在，首先要上界的集合非空；其次要存在一个上界和所有其他上界可比，且比其他上界小。下确界同样如此。不理解这个问题，我们可能会陷入常见误区：上界存在 = 上确界存在？这是错误的！！！

6. 序的结构

   1. 序同构：设 \((P, \leq_{P})\) 和 \((Q, \leq_{Q})\) 为两个偏序集。若存在双射 \(f: P \to Q\) 使得 \(\forall x, y \in P\) 有 \(x \mathrel{\leq_{P}} \iff f(x) \leq_{Q} f(y)\) ，则称 \(f\) 为序同构（序同构映射），称 \(P\) 与 \(Q\) 为序同构（是序同构关系）。

全序关系

如果偏序集 \((P, \leq)\) 中任意两个元素都可比，即：

\[\forall a, b \in P ,\quad a \leq b \lor b \leq a \]

那么称 \(\leq\) 是一个全序关系，简称全序，\((P, \leq)\) 称为全序集。（因为有限全序集可以线性排序，所以全序有时也称会线性序）

显然全序首先是偏序，反之不然。

1. 严格全序

   如果一个偏序是全序，那么对应的严格偏序就是对应的严格全序。

   全序是特殊的偏序，显然全序和严格全序是可以互推的。同样的，为了让全序与严格全序对应，全序有时又叫做一般全序和不严格全序，也是般默认的全序。实际上非特殊情况下都不必严格区分，因为他们可以互推。（比如说全序集可以通过去重得到严格全序集，而严格全序集中加入一些重复元素也总满足全序集）

   1. 基础性质：设 \((T, \preceq)\) 为全序集，对应的严格全序为 \(\prec\) ，则 \(\prec\) 满足：

   • 反自反性：\(\forall x \in T ,\quad x \mathrel{\not \prec} x\)

   • 传递性：\(\forall x, y, z \in T ,\quad x \mathrel{\prec} y, y \mathrel{\prec} z \implies x \mathrel{\prec} z\)

   • 三岐性：\(\forall x, y \in T\) ，以下三种情况恰有（有且仅有）一种成立：\(a \prec b, a = b, b \prec a\) 。

   或者说一个集合上的关系是严格全序当且仅当以上三条性质。

   2. 有限严格偏序集的标准型

      设 \((A, \prec)\) 是一个有限的严格偏序集，且 \(|A| = n < \infty\) 。则 \((A, \prec)\) 必与以下标准模型同构：

      \[(\{0, 1, 2, \cdots, n - 1\}, <) \]

      其中 \(<\) 是自然数间通常的严格小于关系。

      证明：

      因全序集 \((A, \preceq)\) 是有限的，考虑递归定义：取 \(A \) 的最小元 \(a_1\) ，再取 \(A \setminus \{a_1\}\) 的最小元 \(a_2\) …… ，得到 \(a_1 \preceq a_2 \preceq \cdots \preceq a_n\) 。定义映射 \(f: A \to \{ 0, 1, 2, \cdots, n - 1 \} ,\ a_{k} \mapsto k - 1\) 。易证 \(f\) 是双射。由 \(1 \leq 2 \leq \cdots \leq n\) ，\(f\) 是保序的。

      \(\square\)

      用途：处理一个有限严格全序集 \((A, \prec)\) 时，可以安全的假设它的元素就是 \(0, 1, 2, \cdots, |A| - 1\) 。

2. 基本性质

   1. 全序集的子集继承性

      全序集的任意子集，在继承序关系下，仍然是全序。即依然满足自反、反对称、传递、任意不同元素可比的性质。

      证明：由继承序的保持序公理性质可证。

      \(\square\)

      用途：用于全序的分解或合并。

   2. 最大元与极大元的等价性

      在全序集 \((T, \prec)\) 中，一个元素 \(M\) 是最大元当且仅当它是极大元。

      证明：

      必要性。最大元必然是极大元。因为没有比他更大的元素。

      重复性。若 \(M\) 是极大元，则任意的 \(a \in T\) ，由全序集的可比性总有 \(a \preceq M \lor M \preceq a\) 。后者若成立，因 \(M\) 是极大元，则 \(M = a\) 。于是总有 \(a \preceq M\) ，即 \(M\) 是最大元。

      \(\square\)

3. 常见全序集

   1. 实数集上的小于等于关系 \(\leq\) 是全序，\((\mathbb{R}, \leq)\) 是一个全序集。

   2. 集合 \(S\) 的幂集 \(\mathcal{P}(S)\) 中的包含关系 \(\subseteq\) 是全序，\((\mathcal{P}(S), \subseteq)\) 是一个全序集。

   3. 字符串集上的字典序关系 \(\leq\) 是全序，\((\text{String}, \leq)\) 是一个全序集。

   4. 整数集上的整除关系、实数集上的小于关系显然不是全序。

良序关系

一个全序集 \((W, \leq)\) 如果满足它的每个非空子集都有最小元，则称为良序集，即：

\[(\forall a, b \in P ,\quad a \leq b \lor b \leq a) \land (\exists m \in P ,\quad \forall s \in S .\ m \leq s) \]

其中的全序关系叫做良序关系。这里的全序可以是一般全序也可以是严格全序，因为他们可以互推。

1. 基本性质

   1. 良序集的子集继承性

      设 \((W, \preceq_{W})\) 是良序集，则 \((W, \preceq_{W})\) 的继承序集 \((S, \preceq_{S})\) 依然是良序集。即依然满足自反、反对称、传递、任意不同元素可比、任意非空子集有最小元的性质。

      证明：

      由继承序的保持序公理性质可证。

      \(\square\)

   2. 良序集没有无限严格下降链。

      设 \((W, \preceq)\) 是良序集，则 \(W\) 中不存在无限严格下降链，即不存在 \(\{ x_{n} \} n \in \mathbb{N} \subset W\) 使得 \(x_1 \succ x_2 \succ x_3 \succ \cdots\) 。其中 \(\succ\) 是 \(\prec\) 的对偶序。

      证明：

      若 \((W, \preceq)\) 中存在无限严格下降链 \((D = \{ x_1, x_2, \cdots \}, \prec)\) 是良序集 \((W, \preceq)\) 诱导的非空子集，即依旧是良序集。由于良序集存在最小元，则设其最小元为 \(x_k\) ，由 \(x_1 \succ x_2 \succ \cdots \succ x_k\) ，则 \(x_k \prec x_{k + 1} \in D\) 。这和严格下降链的定义矛盾。故不存在。

      \(\square\)

2. 超限归纳原理

   1. 定义

      设 \((W, \leq)\) 为良序集，\(P(x)\) 是关于元素 \(x \in W\) 的一个性质。

      若：

      \[\forall a \in W .\ \forall b < a, P(b) = \top \implies P(a) = \top \]

      （这里有一个小技巧，已有 \(a \in W\) ，再有 \(b < a\) ，则已经蕴含 \(b \in W\) ）

      证明：

      假设存在 \(b \in W \ . \neg P(x)\) 。令 \(S = \{ x \in W \mid \neg P(x)\}\) ，则 \(\emptyset \subset S \subseteq W\) 。由良序集子集的继承性，\(S\) 为良序集，有最小元，设为 \(s\) 。

   2. 解释

      “超限”源自单词 "transfinite" ，字面意思是超越有限。这点明了这个原理与普通数学归纳法的本质区别：超限归纳原理的基础，是一个可能超出所有自然数的长度无限的良序集。

链和反链

这是偏序集的两个重要子集。

1. 链

   设 \((P, \leq)\) 是偏序集，\(P\) 的一个子集 \(C \subseteq P\) 称为 \(P\) 的一个链，如果

   \[\forall a, b \in C ,\quad a \leq b \lor b \leq a \]

   简单来说，即 \(C\) 中任意两个元素是可比的。

   1. 推论：

      1. 链是 \(P\) 的一个全序子集。（充要条件）

      2. 有限链的元素可以排成一个线性序列：\(x_1 \leq x_2 \leq \cdots x_n\) 。（并非充要条件）

   2. 常见链

      1. \((\mathbb{R}, \leq)\) 中，\(\{1， 2， 3\}\) 是一个链。显然任意两两元素都可比。

      2. \((\mathcal{P}(\{ a, b, c\}), \subseteq)\) （\(\mathcal{P}\) 是幂集）中， \(\{ \emptyset, \{ a \}, \{ a, b \}, \{ a, b, c \} \}\) 是一个链。显然任意两两元素可比。

      3. \((\mathbb{N}, \mid)\) 中，\(\{1, 2, 4, 8\}\) 是一个链。显然考虑 \(\{2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}\}\) 中任意两两元素是可比的。

         • 这是个简洁有趣的问题。我们不难验证整除链的构造，必然满足存在 \(p, b\) 使得链中元素都为 \(p \cdot b^{k}\) 的形式

   3. 相关概念

      1. 极大链：若链 \(C\) 不是任何其他链的真子集，则 \(C\) 是极大链。或者说无法再加入任何元素后依然保持链的性质。

      2. 最大链：如果链 \(C\) 的长度（元素个数）在所有链中是最大的，则称为最大链（不一定唯一）。

2. 反链

   设 \((P, \leq)\) 是偏序集，\(P\) 的一个子集 \(A \subseteq P\) 称为 \(P\) 的一个反链，如果

   \[\forall a, b \in A ,\ a \neq b ,\quad a \not \leq b \lor b \not \leq a \]

   简单来说，即 \(A\) 中任意两个不同元素都是不可比的。用于表示一个“平行”的部分，元素相互独立，无法比较大小。

   注：我们强调反链中任意两个不同的元素都是不可比的，因为偏序集中一个元素和自己是自反即可比的。且我们一般都约定：单元素子集和空集即是链也是反链。

   常见反链：

   1. 在幂集和包含关系组成的偏序集 \((\mathcal{P}(\{ a, b, c \}), \subseteq)\) 中，\(\{ \{a\} , \{b\} , \{c\} \}\) 是一个反链。两两互不包含。

   2. \((\mathbb{N}, \mid)\) 中，\(\{2, 3, 5\}\) 是一个反链。两两互不整除。

   3. 任何偏序集的极大元的集合构成反链。显然如果存在两个元素互相包含，那么其中一个元素不是极大元。

哈斯图

1. 定义

   哈斯图是有限偏序集的一种图形表示法，它通过以下规则简化关系图：

   1. 省略自反边：不画自环

   2. 只画覆盖关系，省略传递关系：只画直接连接的“覆盖”边，即只画桥。

   3. 用位置表示顺序：哈斯图本质上是有向图，如果 \(a \leq b\) ，则 \(a\) 连向 \(b\) 。但是！我们不画箭头，而是把 \(a\) 放在 \(b\) 上方。

   这让我们能很容易地地把偏序集放到变成图论上操作并且容易地画出来。

   哈斯图默认是偏序集的表示，但严格偏序集也有哈斯图，此时要区分每个点是否存在自环。

2. 合理性：

   1. 唯一确定偏序集：\(a \leq b\) 当且仅当 \(a\) 联通 \(b\)

   2. 直观且简洁地展示结构：易于看出链、反链、极大极小元等。

      1. 哈斯图上一条链并非是一条路径。

         1. 实际上一条链只需要满足存在一条路径，让链中所有节点都在其中即可，而不必是整条路径。换句话说，只需要链中任意两点在哈斯图（隐式有向图）上联通即可。

         2. 实际上，在关系图图上，任意一个链都是一条关系图上的路径。但关系图中边的数量会达到 \(O(N^{2})\) ，画出来并不容易直观讨论。

      2. 哈斯图上一条反链，满足任意两点不连通。

         1. 一条反链不是一个独立集。无论在哈斯图还是关系图上都如此。

         2. 任意两点不连通的结构，本身就叫做反链。反链并没有很好的直观的找到的方法，只有 \(O(n^{2})\) 直观判断的方法。

   3. 便于判断格结构：看任意两点是否有唯一上确界和下确界。上确界的观察，即看一个大小为二的点集，是否存在非空上界集，且上界集里存在一个元素和其他元素都可比且最小。下确界的观察同理。

3. 关联性：

   1. 可比性：哈斯图上元素对的性质

   2. 覆盖：哈斯图上一条边的前驱和后继的性质

   3. 哈斯图隐式表达整个偏序

      有限偏序集中，覆盖关系的传递闭包是整个偏序关系，即

      \[a \leq b \iff \exists k \geq 1 .\ a = x_0 \prec x_1 \prec \cdots \prec x_k = b \]

4. 哈斯图到关系图的恢复

5. 例子

   1. 设 \(X = \{ 1, 2, 3, 4, 6, 12 \}\) ，偏序集 \((X, \mid)\) 的哈斯图为

      graph TD %% 定义所有节点 N1(("1")) N2(("2")) N3(("3")) N4(("4")) N6(("6")) N12(("12")) %% 覆盖关系：注意方向是从下往上（覆盖者在上方） N1 --- N2 N1 --- N3 N2 --- N4 N2 --- N6 N3 --- N6 N4 --- N12 N6 --- N12

   2. 设 \(A = \{ a, b, c \}\) ，偏序集 \((\mathcal{P}(A), \subseteq)\) 的哈斯图为

      graph TD %% 节点定义 empty(("∅")) a(("{a}")) b(("{b}")) c(("{c}")) ab(("{a,b}")) ac(("{a,c}")) bc(("{b,c}")) abc(("{a,b,c}")) %% 第一层覆盖 empty --- a empty --- b empty --- c %% 第二层覆盖 a --- ab a --- ac b --- ab b --- bc c --- ac c --- bc %% 第三层覆盖 ab --- abc ac --- abc bc --- abc

Mirsky's theorem 和 Dilworth's theorem （偏序集分解定理）

格

1. 定义

   1. 作为偏序集的定义

      一个格是一个偏序集 \((L, \leq)\) ，若其中任意两个元素 \(a, b \in L\) 都有：

      1. 上确界
      \[\forall a, b \in L \quad \exists \operatorname{sup}(\{a, b\}) = \underset{ u \in P \ \text{是 \{a, b\} 的上界} }{\operatorname{min}} u \leq \forall v \in \{ u \mid a \leq u \land b \leq u \} \]
      2. 下确界
      \[\forall a, b \in L \quad \exists \operatorname{inf}(\{a, b\}) = \underset{ u \in P \ \text{是 \{a, b\} 的下界} }{\operatorname{max}} u \leq \forall v \in \{ u \mid u \leq a \land u \leq b \} \]

   2. 作为代数结构的定义

      一个格是一个代数结构 \((L, \lor, \land)\) ，其中 \(L\) 是一个集合，并 \(\lor\) 和交 \(\land\) 是两个二元运算：\(L \times L \to L\)，满足以下公理：

      1. 结合律：\(\forall a, b, c \in L ,\quad (a \lor b) \lor c = a \lor (b \lor c)\)

      2. 交换律：\(\forall a, b \in L ,\quad a \lor b = b \lor a ,\ a \land b = b \land a\)

      3. 吸收律：\(\forall a, b \in L ,\quad a \lor (a \land b) = a ,\ a \land (a \lor b = a\)

      4. 幂等律：\(\forall a \in L ,\quad a \lor a = a ,\ a \land a = a\) 。

         • 有时不会强调这条性质，因为幂等律可以由吸收律直接推出。根据吸收律 \(\forall a, b \in L ,\quad a \lor (a \land b) = a\) ，令 \(b = a \lor c\) 可推出 \(a \lor (a \land (a \lor c)) = a\) ，再由吸收律则有 \(a \land (a \lor c) = a\) ，于是 \(a \lor a = a\) 。而 \(a \land a = a\) 同理可以由另一个吸收律直接推出。

2. 格的偏序集定义和代数结构定义的等价性

3. 格的常见例子

4. 格的分类

等价关系与等价类

1. 等价关系

   若集合 \(X\) 上的一个关系 \(R \subseteq \mathcal{R}(X)\) 是自反、对称、传递的，则 \(R\) 是一个等价关系，常用符号 \(\sim\) 表示。

   即 \(\sim\) 满足

   1. 自反性：\(\forall x \in X ,\quad x \mathrel{\sim} x\)

   2. 对称性：\(\forall x, y \in X ,\quad x \mathrel{\sim} y \implies y \mathrel{\sim} x\)

   3. 传递性：\(\forall x, y, z \in X ,\quad x \mathrel{\sim} y , y \mathrel{\sim} z \implies x \mathrel{\sim} z\)

   • 属于 \(\sim\) 的有序对 \((a, b)\) 记作 \(a \sim b\) ，称 \(a\) 等价于 \(b\) 。

   • 不属于 \(\sim\) 的有序对 \((a, b)\) 记作 \(a \not \sim b\) ，称 \(a\) 不等价于 \(b\) 。

2. 等价类

   对于 \(X\) 上的等价关系 \(\sim\) ，对于任意 \(a \in X\) ，\(a\) 的等价类是 \(X\) 中所有与 \(a\) 等价的元素组成的集合，写作

   \[[a]_{\sim} := \{x \in X \mid x \sim a \} \]

   称作 \(a\) 关于 \(\sim\) 的等价类，上下文明确时可以直接称等价类。

   等价关系 \(\sim\) 明确时，\([a]_{\sim}\) 可以简写成 \([a]\) 。

   四个基本性质：

   1. 非空性： \(a \in [a]\)

   2. 相等性：\(a \mathrel{\sim} b \implies [a] = [b]\)

   3. 互斥性：\(a \mathrel{\not \sim} b \implies [a] \cap [b] = \emptyset\)

   4. 覆盖性：\(\bigcup_{a \in X}[a] = X\)

划分与商集

1. 定义

   集合 \(X\) 的一个划分，是指 \(X\) 的一个子集族 \(\mathcal{P} = \{ X_{i} \}_{i \in I} ,\ X_{i} \subseteq X\) ，满足以下所有性质：

   1. 非空性： \(\forall i \in I, X_{i} \neq \empty\) 。

   2. 互斥性（互不相交）：\(i \neq j \implies X_{i} \cap X_{j} = \empty\)

   3. 覆盖性：\(\bigcup_{i \in I} X_{i} = X\)

   注：划分 \(\mathcal{P}\) 的每个元素 \(X_{i}\) 都是 \(X\) 的子集，称为该划分的一个“块”或“类”。指标集 \(I\) 不必须是有限集。

2. 划分与等价关系的关系

   1. 从等价关系可以得到划分

      \(X\) 的所有等价类的集合是 \(X\) 的一个划分，即 \(\{ [a] \mid a \in X \}\) 是 \(X\) 的一个划分。

      我们把等价关系得到的划分称为商集。

      证明：

      1. 每个等价类 \([a]\) 非空。

      2. 两个不同的等价类要么相等，要么不相交。

      3. 所有等价类的并等于 \(X\) 。

   2. 从划分可以得到等价关系

      设 \(\mathcal{P} = \{ X_{i} \}_{i \in I}\) 是 \(X\) 的一个划分。定义关系 \(\sim_{p} \in \mathcal{R}(X)\)

      \[\mathrel{\sim_{p}} = \{ (a, b) \mid \exists i \in I .\ a \in X_{i} \land b \in X_{i} \} \]

      则 \(\mathrel{\sim_{p}}\) 是等价关系。

      证明：

   3. 划分与等价关系之间存在一个双射

      证明：

      这里我们用一个经典的互逆映射方法证明双射，而不是平凡地单射+满射=双射。

      设 \(\sim\) 是 \(X\) 上的等价关系，\(\text{Eq}(X)\) 是所有 \(\sim\) 的集合。 \(\mathcal{P}\) 是 \(X\) 的划分，定义集合

3. 商集

   设 \(X\) 是一个集合，\(\sim\) 是 \(X\) 上的一个等价关系。\(X\) 的所有等价类的集合称为 \(X\) 关于 \(\sim\) 的商集

   \[X / {\sim} = \{ [a] \mid a \in X \} \]

   1. 划分

   2. 自然投影

   3. 确定等价关系

函数关系

同余关系

一元关系

设 \(A\) 是一个集合，一个一元关系指 \(A\) 的一个子集 \(P \subseteq A\) 。

1. 子集对应谓词

   存在双射

   \[F: \mathcal{U}(A) = \{ P \mid P \subseteq A \} \to \Phi(A) = \{ \phi \mid \phi : A \to \{\top,\bot\} \} \]

   定义为

   \[F(P) := \phi_{P},\ \phi_{P}(x) = (x \in P), \quad P \in \mathcal{U}(A), x \in A \]

   证明：

   1. 单射性

      设 \(P, Q \in \mathcal{U}(A)\) 。

      当 \(P \neq Q\) 。则有两种可能

      • \(\exists x \in P, x \not \in Q\) ，或者

      • \(\exists x \in Q, x \not \in Q\)

      假设 \(\exists x \in P, x \not \in Q\) （另一种情况对称）。

      • 因为 \(x \in P\) ，则 \(\phi_{P}(x) = \top\)

      • 因为 \(x \not \in Q\) ，则 \(\phi_{Q}(x) = \bot\)

      因此 \(\phi_{P}(x) \neq \phi_{Q}(x)\) ，从而 \(\phi_{P} \neq \phi_{Q}\) ，进而 \(F(P) \neq F(Q)\) 。

      于是 \(P \neq Q \implies F(P) \neq Q\) 成立，则它的逆否命题：若 $P = Q \implies F(P) = F(Q) $ 成立。即 \(F\) 是单射。

   2. 满射性

      任取 \(\phi \in \Phi(A)\) ，构造 \(P_{\phi} := \{ x \in A \mid \phi(x) = \top \} \subseteq A \subseteq \mathcal{U}(A)\) 。则 \(\phi_{P_{\phi}}(x) = \top \iff \phi(x) = \top\) ，则 \(\forall x \in A, \phi_{P_{\phi}}(x) = \phi(x)\) ，于是 \(\phi_{P_{\phi}} = \phi\) ，于是 \(F(P_{\phi}) = \phi_{p_{\phi}} = \phi\) 。

      则 \(\forall \phi \in \Phi(A), \exists P \in \mathcal{U}(A) \implies F(P) = \phi\) 。

   \(\square\)

2. 基数公式

   若 \(A\) 为有限集，则

   \[|\mathcal{U}(A)| = 2^{|A|} \]

   证明：

   考虑 \(P \subseteq A\) ，对于 \(A\) 中第 \(i = 1, 2, \cdots, |A|\) 个元素，可以选择加入 \(P\) 或不加入 \(P\) ，则由 \(A\) 构成 \(P\) 的方案数共 \(\underbrace{2 \times \cdots 2}_{|A|'s\ times} = 2^{|A|}\) 。

   \(\square\)

3. 运算封闭性

   设 \(P, Q\) 是 \(A\) 上的一元关系，即 \(P, Q \subseteq A\) 则以下仍是 \(A\) 上的一元关系（运算封闭）：

   1. 并运算：\(P \cup Q\) （逻辑或）

      证明：

      \[\begin{aligned} \forall x \in P \cup Q &\implies x \in P \subseteq A \lor x \in Q \subseteq A \\ &\implies x \in A \lor x \in A \\ &\implies x \in A \end{aligned} \]

      则 \(P \cup Q \subseteq A\) 。

      \(\square\)

   2. 交运算：\(P \cap Q\) （逻辑与）

      证明

      \[\forall x \in P \cap Q \implies x \in P \subseteq A \land x \in Q \subseteq A \implies x \in A ,\ x \in A \implies x \in A \]

      于是 \(P \cap Q \subseteq A\) 。

      \(\square\)

   3. 差运算：\(P \setminus Q\)

      证明

      \[\begin{aligned} \forall x \in P \setminus Q &\implies x \in P \subseteq A \land x \not \in Q \\ &\implies x \in A ,\ x \not \in Q \\ &\implies x \in A \end{aligned} \]

      故 \(P \setminus Q \subseteq A\) 。

      \(\square\)

      特别的，当全集为 \(A\) ，且 \(P = A\) ，则可定义补运算 \(\overline{P} = A \setminus Q\) (逻辑非)。

      补运算是某个代数结构内的内部运算，在默认钦定过全集或确定过代数结构情况下才能使用。\(\overline{P}\) 也写作 \(P^{c}\) 。

   4. 对称差：\(P \triangle Q := (P \setminus Q) \cup (Q \setminus P)\) （逻辑异或）

      证明：

      \[\begin{aligned} \forall x \in P \triangle Q &\implies x \in (P \setminus Q) \cup (Q \setminus P) \\ &\implies x \in P \setminus Q \lor x \in Q \setminus P \\ &\implies (x \in P ,\ x \not \in Q) \lor (x \in Q ,\ x \not \in P) \\ &\implies x \in P \subseteq A \lor x \in Q \subseteq A \\ &\implies x \in A \lor x \in A \\ &\implies x \in A \end{aligned} \]

      故 \(P \triangle Q \subseteq A\) 。

      \(\square\)

4. 布尔代数结构

   六元组 \((\mathcal{U}(A), \cup, \cap, {\,}^c, \emptyset, A)\) 构成一个布尔代数，其中补运算定义为 \(P^{c} = A \setminus P\) 。

   我们令 \(0_{\mathcal{U}(A)} = \emptyset, 1_{\mathcal{U}(A)} = A\) ，并运算为 \(\cup\) ，交运算为 \(\cap\) ，补运算为 \({\,}^{c}\) 。

   我们逐一证明以下六条布尔代数公理，满足这六条公理的代数结构属于布尔代数。

   其中 \(P \in \mathcal{U}(A) \iff P \subseteq A\) 是显然满足的，但是需要注意以更全面地理解。

   1. 交换律：\(\forall P, Q \in \mathcal{U}(A), \quad P \cup Q = Q \cup P, \ P \cap Q = Q \cap P\)

      证明：

      并运算的交换律：由逻辑公理诱导的结论 \(p \lor q = q \lor p\) 有（数理逻辑学了什么再说）

      \[ \forall x \in P \cup Q \implies x \in P \lor x \in Q \implies x \in Q \lor x \in P \implies x \in Q \cup P \]

      交运算的交换律：由逻辑公理诱导的结论 \(p \land q = q \land p\) 有（此后会用到大量逻辑公理的结论）

      \[ \forall x \in P \cap Q \implies x \in P \land x \in Q \implies x \in Q \land x \in P \implies x \in Q \cap P \]

      \(\square\)

   2. 结合律：\(\forall P, Q, R \in \mathcal{U}(A), \quad P \cup (Q \cup R) = (P \cup Q) \cup R, \ P \cap (Q \cap R) = (P \cap Q) \cap R\)

      证明：

      并运算的结合律：

      \[ \begin{aligned} \forall x \in P \cup (Q \cup R) &\implies x \in P \lor (x \in Q \lor x \in R) \\ &\implies x \in P \lor x \in Q \lor x \in R \\ &\implies (x \in P \lor x \in Q) \lor x \in R \\ &\implies x \in (P \cup Q) \cup R \end{aligned} \]

      交运算的结合律：

      \[ \begin{aligned} \forall x \in P \cap (Q \cap R) &\implies x \in P \land (x \in Q \land x \in R) \\ &\implies x \in P \land x \in Q \land x \in R \\ &\implies (x \in P \land x \in Q) \land x \in R \\ &\implies x \in (P \cap Q) \cap R \end{aligned} \]

      \(\square\)

   3. 吸收律：\(\forall P, Q \in \mathcal{U}(A), \quad P \cup (P \cap Q) = P, \ P \cap (P \cup Q) = P\) （主要作用之一是作简化律）

      证明：

      并运算的吸收律

      \[ \begin{aligned} \forall x \in P \cup (P \cap Q) &\implies x \in P \lor (x \in P \land x \in Q) \\ &\implies (x \in P \lor x \in P) \land (x \in P \lor x \in Q) \\ &\implies x \in P \land (x \in P \lor x \in Q) \\ &\implies x \in P ,\ (x \in P \lor x \in Q) \\ &\implies x \in P \end{aligned} \]

      交运算的吸收律

      \[ \begin{aligned} \forall x \in P \cap (P \cup Q) &\implies x \in P \land (x \in P \lor x \in Q) \\ &\implies (x \in P \land x \in P) \lor (x \in P \land x \in Q) \\ &\implies x \in P \lor (x \in P \land x \in Q) \\ &\implies (x \in P \lor x \in P) \land (x \in P \lor x \in Q) \\ &\implies x \in P \land (x \in P \lor x \in Q) \\ &\implies x \in P ,\ (x \in P \lor x \in Q) \\ &\implies x \in P \end{aligned} \]

   \(\square\)

   4. 分配律：\(\forall P, Q, R \in \mathcal{U}(A), \quad P \cup (Q \cap R) = (P \cup Q) \cap (P \cup R), \ P \cap (Q \cup R) = (P \cap Q) \cup (P \cap R)\)

      证明：

      并运算对交运算的分配律（公式中是左分配律，但是我们证过交换律）：

      \[ \begin{aligned} \forall x \in P \cup (Q \cap R) &\implies x \in P \lor (x \in Q \land x \in R) \\ &\implies (x \in P \lor x \in Q) \land (x \in P \lor x \in R) \\ &\implies x \in (P \cup Q) \land x \in (P \cup R) \\ &\implies x \in (P \cup Q) \cap (P \cup R) \end{aligned} \]

      交运算对并运算的分配律：

      \[ \begin{aligned} \forall x \in P \cap (Q \cup R) &\implies x \in P \land (x \in Q \lor x \in R) \\ &\implies (x \in P \land x \in Q) \lor (x \in P \land x \in R) \\ &\implies x \in (P \cap Q) \lor x \in (P \cap R) \\ &\implies x \in (P \cap Q) \cup (P \cap R) \end{aligned} \]

      \(\square\)

   5. 单位元存在：\(\forall P \in \mathcal{U}(A), \quad \exists \emptyset \in \mathcal{U}(A), P \cup \emptyset = P,\quad \exists A \in \mathcal{U}(A), P \cap A = P\)

      证明：

      并运算的单位元

      \[ \begin{aligned} \forall x \in P \supseteq \emptyset &\implies x \in P \lor x \in \emptyset \\ &\implies x \in (P \cup \emptyset) \end{aligned} \]

      交运算的单位元

      \[ \begin{aligned} \forall x \in P \subseteq A &\implies x \in P \land x \in A \\ &\implies x \in (P \cap A) \end{aligned} \]

      \(\square\)

   6. 补元存在：\(\forall P \in \mathcal{U}(A), \quad P \cup P^{c} = A,\ P \cap P^{c} = \empty\)

      证明：

      \[\begin{aligned} \forall x \in P \cup P^{c} &\implies x \in P \lor x \in P^{c} \\ &\implies x \in P \lor (x \in A \land x \not \in P) \\ &\implies (x \in P \subseteq A \lor x \in A) \land (x \in P \lor x \not \in P) \\ &\implies x \in A \land (x \in P \lor x \not \in P) \\ &\implies x \in A \land \top \\ &\implies x \in A \end{aligned} \]
      \[\begin{aligned} \forall x \in P \cap P^{c} &\implies x \in P \land x \in P^{c} \\ &\implies x \in P \land (x \in A \land x \not \in P) \\ &\implies (x \in P \subseteq A \land x \in A) \land (x \in P \land x \not \in P) \\ &\implies \top \land x \in \emptyset \\ &\implies x \in \emptyset \end{aligned} \]

   \(\square\)

5. 包含偏序

6. \(\mathcal{P}(A)\) 按 \(\subseteq\) 构成一个完备布尔格。