子空间

子空间的定义

设 \(V\) 是数域 \(\mathbb{F}\) 上的一个向量空间，\(W\) 是 \(V\) 的一个非空子集。如果 \(W\) 对于 \(V\) 中的向量加法和标量乘法也构成一个向量空间，则称 \(W\) 是 \(V\) 的一个子空间。记作 \(W \leq V\) 。

子空间的几何直观

  • \(\mathbb{R}^{2}\) 的子空间：原点、过原点的直线、整个的平面。
  • \(\mathbb{R}^{3}\) 的子空间：原点、过原点的直线、过原点的平面、整个空间。
  • ……
  • 不过原点的集合不是子空间。

子空间的判定定理：

\(W \subseteq V\) 是 \(V\) 的子空间当且仅当同时满足以下三条：

  1. 非空：\(\mathbf{0} \in W\) （零向量在 \(W\) 中）。
  2. 对加法封闭：\(\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in W, \quad \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W\) 。
  3. 对数乘封闭：\(\forall \mathbf{u}, c \in \mathbb{F}, \quad c \mathbf{u} \in W\) 。

证明：

必要性。若 \(W\) 是向量空间，则含零元，且运算封闭。

充分性。若 \(1, 2, 3\) 成立，则 \(W\) 满足向量空间公理。

\(\square\)

显然这三条判定有等价判定：\(W\) 非空，且 \(\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in W, \alpha, \beta \inf \mathbb{F}, \quad \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v}\)

平凡子空间

  • 零子空间 \(\{\mathbf{0}\}\) 。基是 \(\emptyset\) ，\(\dim V = 0\) 。

  • \(V\) 本身。\(V\) 本身是 \(V\) 的最大子空间。

生成子空间

设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，\(S \subseteq V\) 非空，定义 \(S\) 的生成子空间为：

\[\operatorname{span}(S) := \left \{ \sum_{i = 1}^{k} \alpha_i \mathbf{v}_i \mid k \in \mathbb{N}, \alpha_i \in \mathbb{F}, \mathbf{v}_i \in S \right \} \]

  1. \(\operatorname{span}(S)\) 是 \(V\) 的子空间

  2. 若 \(W\) 是 \(V\) 的子空间且 \(S \subseteq W\) ，则 \(\operatorname{span}(S) \subseteq W\) 。

  3. \(\operatorname{span}(\operatorname{span}(S)) = \operatorname{span}(S)\)

交集与子空间的交运算

  1. 设 \(W_1, W_2 \subseteq V\) ，定义 \(W_1\) 和 \(W_2\) 的交为

    \[W_1 \cap W_2 ：= \{ \mathbf{v} \in V \mid \mathbf{v} \in W_1 \land \mathbf{v} \in W_2 \} \]

    结果称作 \(W_1\) 和 \(W_2\) 的交集。

  2. 子空间的交依然是子空间。即对于 \(W_1, W_2 \leq V\) ，则 \(W_1 \cap W_2 \leq\) ，则两个子空间的交运算满足 \(W_1 \cap W_2 \leq V\) 。

    证明：

    1. 非空性：由 \(\mathbf{0} \in W_1 \land \mathbf{0} \in W_2\) ，则 \(\mathbf{0} \in W_1 \cap W_2\) 。

    2. 加法封闭：任取 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W_1 \cap W_2\) ，则

      • \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W_1 \implies \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W_1\)

      • \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W_2 \implies \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W_2\)

      故 \(\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W_1 + W_2\) 。

    3. 标量乘法封闭：对任意 \(\alpha \in \mathbf{F}, \mathbb{u} \in W_1 \cap W_2\) ，有

      • \(\mathbf{u} \in W_1 \implies \alpha \mathbf{u} \in W_1\)

      • \(\mathbf{u} \in W_2 \implies \alpha \mathbf{u} \in W_2\)

      于是 \(\alpha \mathbf{u} \in W_1 \cap W_2\) 。

    \(\square\)

和空间与子空间的和运算

  1. 设 \(W_1, W_2 \subseteq V\) (不一定是子空间)，定义 \(W_1\) 和 \(W_2\) 的和为

    \[W_1 + W_2 := \{ \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 \mid \mathbf{w}_1 \in W_1, \mathbf{w}_2 \in W_2 \} \]

    结果称作 \(W_1\) 和 \(W_2\) 的和空间。

  2. 子空间的和依然是子空间。即对于 \(W_1, W_2 \leq V\) ，则 \(W_1 + W_2 \leq V\) 。

    证明：

    1. 非空性：\(\mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0} \in W_1 + W_2\) 。

    2. 加法封闭：任取 \(\mathbf{x}, \mathbf{y} \in W_1 + W_2\) ，则存在 \(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1^{'} \in W_1\) ，\(\mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2^{'} \in W_2\) 使得

      \[\mathbf{x} = \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2, \quad \mathbf{y} = \mathbf{w}_1^{'} + \mathbf{w}_2^{'} \]

      于是

      \[\mathbf{x} + \mathbf{y} = (\mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2) + (\mathbf{w}_1^{'} + \mathbf{w}_2^{'}) \in W_1 + W_2 \]

    3. 标量乘法封闭：对任意 \(\alpha \in \mathbb{F}, \mathbf{w}_1 \in W_1, \mathbf{w}_2 \in W_2\) ，并令 \(\mathbf{x} = \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 \in W_1 + W_2\) ，有

      \[\alpha \mathbf{x} = \alpha (\mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2) = \alpha \mathbf{w}_1 + \alpha \mathbf{w}_2 \]

      因为 \(\alpha \mathbf{w}_1 \in W_1, \alpha \mathbf{w}_2 \in W_2\) ，所以 \(\alpha \mathbf{x} \in W_1 + W_2\) 。

    \(\square\)

子空间的直和运算

设 \(W_1, W_2 \leq V\) ，若 \(W_1 \cap W_2 = \{ \mathbf{0} \}\) ，则称和空间 \(W_1 + W_2\) 为直和，记作 \(W_1 \oplus W_2\) 。

以下条件互相等价：

  1. \(W_1 \cap W_2 = \{ \mathbf{0} \}\)

  2. 任意 \(\mathbf{v} \in W_1 + W_2\) 的分解 \(\mathbf{v} = \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2, \quad \mathbf{w}_1 \in W_1, \mathbf{w}_2 \in W_2\) 唯一。

  3. 若 \(\mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 = \mathbf{0} \land \mathbf{w}_1 \in W_1, \mathbf{w}_2 \in W_2\) ，则 \(\mathbf{w}_1 = \mathbf{w}_2 = \mathbf{0}\) 。

证明：

  • \((1) \implies (2)\)

    对于任意 \(\mathbf{v} \in W_1 + W_2\) ，若存在 \(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1^{'} \in W_1, \ \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2^{'} \in W_2\) 满足 \(\mathbf{v} = \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 = \mathbf{w}_1^{'} + \mathbf{w}_2^{'}\) 。

    则 \(\mathbf{w}_1 - \mathbf{w}_1^{'} \in W_1, \mathbf{w}_2^{'} - \mathbf{w}_2 \in W_2 \land \mathbf{w}_1 - \mathbf{w}_1^{'} = \mathbf{w}_2^{'} - \mathbf{w}_2\) ，则 \(\mathbf{w}_1 - \mathbf{w}_1^{'} = \mathbf{w}_2^{'} - \mathbf{w}_2 \in W_1 \cap W_2\) 。由 \((1)\) 则 \(\mathbf{w}_1 - \mathbf{w}_1^{'} = \mathbf{w}_2^{'} - \mathbf{w}_2 = \mathbf{0}\) ，故 \(\mathbf{w}_1 = \mathbf{w}_1^{'}, \ \mathbf{w}_2 = \mathbf{w}_2^{'}\) 。

  • \((2) \implies (3)\)

    取 \(\mathbf{v} = \mathbf{0}\) ，则 \(\mathbf{0} = \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2\) 唯一。而 \(\mathbf{w}_1 = \mathbf{w}_2 = \mathbf{0}\) 存在性显然，由 \((2)\) 则 \(\mathbf{w}_1 = \mathbf{w}_2 = \mathbf{0}\) 存在且唯一。

  • \((3) \implies (1)\)

    任取 \(\mathbf{u} \in W_1 \cap W_2\) ，则 \(\mathbf{u} \in W_1 \land \mathbf{u} \in W_2\) 。令 \(\mathbf{w}_1 = \mathbf{u}, \mathbf{w}_2 = -\mathbf{u}\) ，则 \(\mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 = \mathbf{0}\) 。由 \((3)\) 则总有 \(\mathbf{w}_1 = \mathbf{w}_2 = \mathbf{0}\) 。于是 \(W_1 \cap W_2 = \{ \mathbf{0} \}\) 。

\(\square\)

并集与子空间的并运算

  1. 设 \(W_1, W_2 \subseteq V\) ，定义 \(W_1\) 和 \(W_2\) 的并为

    \[W_1 \cup W_2 ：= \{ \mathbf{v} \in V \mid \mathbf{v} \in W_1 \lor \mathbf{v} \in W_2 \} \]

    结果称作 \(W_1\) 和 \(W_2\) 的并集。

    若 \(W_1, W_2 \leq V\) ，不保证 \(W_1 \cup W_2 \leq V\) 。除非 \(W_1 \subseteq W_2 \lor W_2 \subseteq W_1\) 。

  2. 子空间的并张成子空间的和。即对于 \(W_1, W_2 \leq V\) ，\(\operatorname{span}(W_1 \cup W_2) = W_1 + W_2\) 。

证明：

  • 必要性。任意 \(\mathbf{v} \in W_1 + W_2\) 可写为 \(\mathbf{v} = \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2\) ，由于这是 \(W_1 \cup W_2\) 中向量的线性组合，则 \(\mathbf{v} \in \operatorname{span}(W_1 \cup W_2)\) 。

  • 充分性。任意 \(\mathbf{v} \in \operatorname{span}(W_1 \cup W_2)\) 可写成

    \[\mathbf{v} = \sum_{i} \alpha_i \mathbf{u}_i + \sum_{j} \beta_i \mathbf{h}_i, \quad \mathbf{u}_i \in W_1, \mathbf{h}_i \in W_2 \]

    再令

    \[\mathbf{w}_1 = \sum_{i} \alpha_i \mathbf{u}_i, \quad \mathbf{w}_2 \sum_{j} \beta_i \mathbf{h}_i \]

    则有 \(\mathbf{v} = \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 \in W_1 + W_2\) 。

\(\square\)

与线性映射的关系

设 \(T: V \to U\) 是线性映射。

  • 核（零空间）：\(\ker T = \{ \mathbf{v} \in V \mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_{W} \} \leq V\) 。

    证明：

    1. 非空性

      \(T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_U\) （容易证明线性映射保零），故 \(\mathbf{0}_V \in \ker T\) 。

    2. 加法封闭

      若 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \ker T\) ，则 \(T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_{U}\) 。

      于是 \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_{U} + \mathbf{0}_{U} = \mathbf{0}_{U}\) ，故 \(\mathbf{u} + \mathbf{v} \in \ker T\) 。

    3. 数乘封闭

      若 \(\mathbf{v} \in \ker T, \alpha \in \mathbb{F}\) ，则

      \[T(\alpha \mathbf{v}) = \alpha T(\mathbf{v}) = \alpha \cdot \mathbf{0}_{U} = \mathbf{0}_{U} \]

      故 \(\alpha \mathbf{v} \in \ker T\) 。

    \(\square\)

  • 像（列空间）：\(\operatorname{im} T = \{T(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in V\} \leq U\) 。

    证明：

    1. 非空性

      \(T(\mathbf{0}_{V}) = \mathbf{0}_{U} \in \operatorname{im} T\) 。

    2. 加法封闭

      若 \(\mathbf{u}^{'}, \mathbf{v}^{'} \in \operatorname{im} T\) ，则存在 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\) 使得 \(T(\mathbf{u}) = \mathbf{u}^{'}, T(\mathbf{v}) = \mathbf{v}^{'}\) 。

      于是

      \[\mathbf{u}^{'} + \mathbf{v}^{'} = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) \in \operatorname{im} T \]

    3. 数乘封闭

      若 \(\mathbf{u}^{'} \in \operatorname{im} T, \alpha \in \mathbb{F}\) ，则存在 \(\mathbf{u} \in V\) 使得 \(T(\mathbf{u}) = \mathbf{u}^{'}\) ，则 \(\alpha \mathbf{u}^{'} = \alpha T(\mathbf{u}) = T(\alpha \mathbf{u}) \in \operatorname{im} T\)

    \(\square\)

维数公式

设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的有限维向量空间，取 \(W_1, W_2 \leq V\) ，则

\[\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2) \]

注：这里的容斥原理不显然，首先 \(W_1 + W_2 \neq W_1 \cup W_2\) ；其次 \(W_1 + W_2 \leq V\) ，而 $ W_1 \cup W_2$ 不保证 \(\leq V\) 。

证明：

令 \(\dim(W_1 \cap W_2) = k\) ，取 \(W_1 \cap W_2\) 的一组基 \(\mathcal{B} = \{\mathbf{v}_1, \cdots, \mathbf{v}_k\}\) 。

将 \(\mathcal{B}\) 扩展为 \(W_1\) 的基：\(\mathcal{B}_1 = \{ \mathbf{v}_1, \cdots, \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_1, \cdots, \mathbf{u}_m \}\) 。有 \(\dim W_1 = k + m\) 。

将 \(\mathcal{B}\) 扩展为 \(W_2\) 的基：\(\mathcal{B}_2 = \{ \mathbf{v}_1, \cdots, \mathbf{v}_k, \mathbf{h}_1, \cdots, \mathbf{h}_n \}\) 。有 \(\dim W_1 = k + n\) 。

接下来证明 \(\mathcal{B}^{'} = \{ \mathbf{v}_1, \cdots, \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_1, \cdots, \mathbf{u}_m, \mathbf{h}_1, \cdots, \mathbf{h}_k \}\) 是 \(W_1 + W_2\) 的基。

  • 生成性

    任意 \(\mathbf{x} \in W_1 + W_2\) 可写为 \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2,\quad \mathbf{x}_1 \in W_1,\ \mathbf{x}_2 \in W_2\) 。\(\mathbf{x}_1 = [\mathbf{x}_1]_{\mathcal{B}_1}, \mathbf{x}_1 = [\mathbf{x}_2]_{\mathcal{B}_2}\) 可被，则 \(\mathbf{x} = [\mathbf{x}_1]_{\mathcal{B}_1} + [\mathbf{x}_2]_{\mathcal{B}_2}\) 。

  • 线性无关性

    假设

    \[\sum_{i = 1}^{k} a_i \mathbf{v}_i + \sum_{j = 1}^{m} b_j \mathbf{u}_j + \sum_{l = 1}^{n} c_l \mathbf{h}_l = \mathbf{0}_{W_1 + W_2} \]

    令

    \[\mathbf{z} := \sum_{i = 1}^{k} a_i \mathbf{v}_i + \sum_{j = 1}^{m} b_j \mathbf{u}_j = -\sum_{l = 1}^{n} c_l \mathbf{h}_l \]

    左边 \(\sum_{i = 1}^{k} a_i \mathbf{v}_i + \sum_{j = 1}^{m} b_j \mathbf{u}_j \in W_1\) ，右边 \(-\sum_{l = 1}^{n} c_l \mathbf{h}_l \in W_2\) ，则 \(\mathbf{z} \in W_1 \cap W_2\) 。因此 \(z\) 可以用 \(\mathcal{B}\) 表示，设 \(z = \sum_{i = 1}^{k} d_i \mathbf{v}_i\) 。
    于是

    \[\sum_{i = 1}^{k} a_i \mathbf{v}_i + \sum_{j = 1}^{m} b_j \mathbf{u}_j = \sum_{i = 1}^{k} d_i \mathbf{v}_i \]

    由于 \(\mathcal{B}_1\) 线性无关，则 \(\forall j, b_j = 0\) 且 \(a_i = d_i\) 。代入原式得 \(\sum_{i = 1}^{k} a_i \mathbf{v}_i + \sum_{l = 1}^{n} c_l \mathbf{w}_l = \mathbf{0}_{W_1 + W_2}\) 。

    由于 \(\mathcal{B}_2\) 线性无关，则 \(\forall i,l, a_i = 0, c_l = 0\) 。

    于是解得 \(\forall i, j, l, a_i = b_j = c_l = 0\) 。

得证 \(\mathcal{B}^{'}\) 是 \(W_1 + W_2\) 的基。

又 \(\lVert \mathcal{B}^{'} \rVert = k + m + n\) ，则

\[\dim(W_1 + W_2) = k + m + n = (k + m) + (k + n) - k = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2) \]

\(\square\)

子空间的格结构

方程与恒等式

方程，一个带未知数的条件等式。用于表达两个表达式之间的相等关系，并要求找出使该等式成立的未知数的值。

恒等式，对所有变量的允许取值都成立的等式。

支撑集与有限支撑映射

一个集合 \(I\) 到环 \(R\) 上的一个映射

\[f: I \to R \]

定义它的支撑集为

\[\operatorname{supp}(f) := \{i \in I \mid f(i) \neq 0\} \]

若满足 \(\lVert \{i \in I \mid f(i) \neq 0\} \rVert < \infty\) ，即 \(f\) 的支撑集是有限集，则 \(f\) 称为有限支撑映射。

幺环上的一元多项式环

设 \(R\) 是一个幺环，定义非负整数集 \(\mathbb{N}_{0} = \{0, 1, 2, \cdots\}\) 到 \(R\) 上的有限支撑函数

\[f: \mathbb{N}_{0} \to R, \quad \lVert \operatorname{supp}(f) \rVert < \infty \]

在所有这种有限支撑函数 \(f\) 的集合 \(\mathcal{F}\) 上定义环结构（加法、乘法、零元、单位元），得到一个幺环 \((\mathcal{F}, +, \cdot)\) ，将这个环记为 \(R[x]\) 。

  1. 加法

    \[\forall f, g \in R[x], n \in \mathbb{N}_{0}, \quad (f + g)(n) = f(n) + g(n) \]

  2. 乘法（卷积）

    \[\forall f, g \in R[x], \quad (f \cdot g)(n) := \sum_{i + j = n} f(i)g(j) \]

    因为 \(f, g\) 是有限支撑映射，则这个和是有限和，即结果依然是有限支撑映射。

  3. 零元

    \[\forall n \in \mathbb{N}_{0}, \quad \mathbf{0}_{R[x]}(n) = 0_{R} \]

  4. 单位元

    \[\begin{aligned} \exists \varepsilon \in R[x],\quad \varepsilon(n) = \begin{cases} 1_{R}, \quad \forall n = 0, \\ 0_{R}, \quad \forall n \geq 1 \\ \end{cases} \end{aligned} \]

定义不定元 \(x \in R[x]\) 满足

\[x(n) = \begin{cases} 1_{R},\quad n = 1 \\ 0_{R},\quad n \neq 1 \\ \end{cases} \]

定义 \(x^{0} = \varepsilon\) 。

由归纳法不难验证

\[\forall k \in \mathbb{N}_{0},\quad x^{k}(n) = \begin{cases} 1_{R}, \quad n = k \\ 0_{R}, \quad n \neq k \\ \end{cases} \]

根据环上的加法和不定元 \(x\) 的定义，有限支撑映射 \(f\) 在 \(R[x]\) 中有如下等式：

\[f = \sum_{k \in \mathbb{N}_{0}} f(k) x^{k} \]

注意 \(\lVert \operatorname{supp}(f) \rVert < \infty\) 依然满足。

加法形式：

\[f + g = (\sum a_{k} x^{k}) + (\sum b_{k} x^{k}) = \sum (a_{k} + b_{k}) x^{k} \]

乘法形式（卷积）：

\[f \cdot g = (\sum a_{i} x^{i}) \cdot (\sum b_{j} x^{j}) = \sum_{n}(\sum_{i + j = n} a_{i} b_{j}) x^{n} \]

幺环上的多元多项式环

在 \(R[x]\) 上定义 \(R[x][y]\) 即二元多项式环，继续可以递归定义出多元多项式环。

多项式环中的有限支撑映射被称作多项式。

\(n\) 元多项式的表现形式为

\[f : \mathbb{N}_{0}^{n} \to R = \sum_{(i_1, \cdots, i_n)^{T} \in \mathbb{N}_{0}^{n}} f(i_1, \cdots, i_n) \cdot (x_{1}^{i_1} \cdots x_{n}^{i_n}) \in R[x_1, \cdots, x_n], \quad \lVert \operatorname{supp}(f) \rVert < \infty \]

多项式函数

设多项式的系数环是域 \(\mathbb{F}\) ，\(f\) 是 \(\mathbb{F}[x]\) 上的多项式。

对于任意有限支撑函数

\[f = \sum_{k \in \mathbb{N}_{0}} f(k) x^k \in \mathbb{F}[x] \]

诱导出一个映射

\[\tilde{f} : \mathbb{F} \to \mathbb{F} \]

满足

\[\tilde{f}(t) = \sum_{k \in \mathbb{N}_{0}} a_{k} t^k, \quad \forall t \in \mathbb{F},\ a_{k} = f(k) \]

则称 \(\tilde{f}(t)\) 为一个多项式函数（一元）。

对于 \(n\) 元，则有

\[\tilde{f} : \mathbb{F}^{n} \to \mathbb{F} \]

满足

\[\tilde{f}(t) = \sum_{(i_1, \cdots, i_n)^{T} \mathbb{N}_{0}^{n}} a_{i_1, \cdots, i_n} \cdot (t_{1}^{i_1} \cdots t_{n}^{i_n}), \quad \forall (t_1, \cdots, t_n)^{T} \in \mathbb{F}^{n},\ a_{i_1, \cdots, i_n} = f(i_1, \cdots, i_n) \]

齐次多项式

“齐次”这个次源于“次数相等”。

若 \(P\) 是 \(n\) 元 \(k\) 次齐次多项式，则

\[P(\lambda x_1, \lambda x_2, \cdots, x_n) = \lambda^{k} P(x_1, x_2, \cdots, x_n) \]

这叫 \(k\) 次齐次性（缩放性质）。

特别的，单指齐次性指一次齐次性，否则会指 \(k\) 次齐次性。

例如

\[P(x, y) = 3 x^{2} + 2xy - y^{2} \]

有

\[\lambda^{2} P(x, y) = \lambda^{2} (3 x^{2} + 2xy - y^{2}) = 3 (\lambda x)^{2} + 2 (\lambda x) (\lambda y) - (\lambda y)^{2} = P(\lambda x, \lambda y) \]

即 \(P(x, y) = 3 x^{2} + 2xy - y^{2}\) 是 \(2\) 次齐次多项式。

齐次线性多项式

首先是一个齐次多项式。特别的，这里的线性本质指该多项式诱导的多项式函数是线性的。体现出来的性质为

\[\lambda \tilde{f}(x_1, \cdots, x_n) = \tilde{f}(\lambda x_1, \cdots, \lambda x_n) \]

注 1 ：多项式即多项式环中的元素。

注 2 ：未加特定声明，多项式环默认是幺环上的多项式。（多项式环并非一定在幺环上）

注 3 ：通常见到的多项式环在域 \(\mathbb{F}\) 上。（这个环不必须是域）

多项式方程

对于 \(f, g \in R[x_1, \cdots, x_n]\) ，一个 \(n\) 元多项式方程为

\[f = g \]

标准型为

\[f - g = 0_{R[x_1, \cdots, x_n]} \]

线性方程

设 \(V\) 是数域 \(F\) 上的向量空间，\(f: V \to \mathbb{F}\) 是一个线性泛函，那么形如

\[f(\mathbf{v}) = b,\quad \mathbf{v} \in V, b \in \mathbb{F} \]

的方程，就叫 \(V\) 上的线性方程。

特别的，对于 \(f(\mathbf{v}) = b\) ，当 \(b = 0\) ，称为齐次线性方程；当 \(b \neq 0\) ，称为一般线性方程或非齐次线性方程。

注：对于一个有限维的选定基的线性泛函，可以证明总能唯一表示为一个一次齐次多项式。由于在线性代数角度（向量空间角度）总是满足有限维且选定基的条件，所以我们在线性代数中不区分线性方程和线性多项式方程。

域 \(\mathbb{F}\) 上的齐次线性方程组

这里特别指域 \(\mathbb{F}\) 上的齐次线性方程，线性代数涉及的也是这种齐次线性方程。如果讨论到环 \(\mathbb{R}\) 会很复杂，可以超出线性代数的角度。

\(m\) 个 \(\mathbb{F}[x_1, \cdots, x_n]\) 上的齐次线性方程联立，构成的方程组：

\[\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots a_{1n} x_n = 0 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots a_{2n} x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots a_{mn} x_n = 0 \\ \end{cases} \]

它的矩阵形式定义为

\[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{m \times n}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^n, \quad \mathbf{0} \in \mathbb{F}^m \]

此时齐次线性方程组可以写作

\[A \mathbf{x} = \mathbf{0}_{\mathbb{F}^{m}} \]

这里 \(\mathbf{0}_{\mathbb{F}^{m}}\) 是 \(m\) 维零向量。

  1. 解的结构

    1. 零解（平凡解）：\(\mathbf{x} = \mathbf{0}_{\mathbb{F}^{n}}\) 总是它的解。

    2. 解的线性组合封闭：

      • \(\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{F}^{n}\) 是解，则 \(\mathbf{u} + \mathbf{v}\) 也是解。

      • \(\forall \mathbf{u} \in \mathbb{F}^{n}\) 是解，则 \(\forall k \in \mathbb{F}\) ， \(k \mathbf{u}\) 也是解。

    3. 解空间：所有解构成 \(\mathbb{F}^{n}\) 的一个子空间，称为解空间或 \(A\) 的零空间（核）

    \[\ker A = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{F}^{n} \mid A \mathbf{x} = \mathbf{0}_{\mathbb{F}^{m}} \} \]

  2. 非零解的存在条件

    • 当且仅当 \(\operatorname{rank}(A) < n\) ，有非零解（无穷多解）。

    • 当 \(\operatorname{rank}(A) = n\) ，有且仅有零解。

    • \(\dim A = n - \operatorname{rank}(A)\) 。

  3. 与对应的非齐次方程组的关系

    考虑非齐次方程组：

    \[A \mathbf{x} = \mathbf{b}, \quad \mathbf{b} \neq \mathbf{0} \]

    若它存在特解 \(\mathbf{x}_{p}\) ，则它的全部解可以表示为

    \[\mathbf{x}_{p} + \{ \text{齐次方程组的解空间} \} \]

  4. 抽象向量空间中的类比

    设 \(V, W\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，对于线性映射 \(T: V \to W\) ，齐次方程对应为：

    \[T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_{W} \]

    解集 \(\ker T\) 是 \(V\) 的子空间。

    当 \(V, W\) 有限维，取基后可划归为矩阵形式 \(A \mathbf{x} = \mathbf{0}\) 。

域 \(\mathbb{F}\) 上的齐次线性方程组的解空间

设 \(A\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间 \(\mathbb{F}^{m \times n}\) 中的元素，称作矩阵。

\(\mathbf{x} = (x_1, \cdots, x_n)^{T}\) 是空间域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间 \(\mathbb{F}^{n \times 1}\) 中的元素。

\(\mathbf{0}\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间 \(\mathbb{F}^{1 \times m}\) 中的零元。

\[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{m \times n}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{n \times 1}, \quad \mathbf{0} \in \mathbb{F}^{1 \times m} \]

考虑齐次线性方程组 \(A \mathbf{x} = \mathbf{0}\) 。

  • 解集 \(S = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{F}^{1 \times n} \mid A \mathbf{x} = \mathbf{0} \}\) 是 \(\mathbb{F}^{1 \times n}\) 的一个子空间。

证明：

这个子空间 \(S\) ，称为齐次线性方程组 \(A \mathbf{x} = \mathbf{0}\) 的解空间。

平行

对于两个 \(S_1, S_2\) 是 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的元素，我们称集合 \(S_1\) 和 \(S_2\) 平行，如果：

\[\exists \mathbf{v} \in S_{2},\quad S_{2} = \{ \mathbf{x} + \mathbf{v} \mid \mathbf{x} \in S_{1} \} \]

记作 \(S_1 \parallel S_2\) 。

仿射子空间
一个集合 \(S\) 是 \(\mathbb{R}^{n}\) 的仿射子空间，如果它满足以下条件之一：

  1. \(S = \emptyset\) 。或者

  2. 存在一个子空间 \(W \subseteq \mathbb{R}^{n}\) 使得

\[S \parallel W \]

其中 \(W\) 称作：为 \(S\) 指定方向的子空间。

若存在向量 \(\mathbf{p} \in \mathbb{R}^{n}\) 和子空间 \(W \subseteq \mathbb{R}^{n}\) 使得 \(S = p + W \subseteq R^{n}\) ，则 \(S\) 称作 \(\mathbb{R}^{n}\) 的仿射子空间，且满足：

  1. 平移不变性：\(\forall p \in S\) ，有

\[S = q + W \]

证明：

  1. 为 \(S\) 指定方向的子空间唯一

任意子空间都是一个仿射子空间

域 \(\mathbb{F}\) 上的一般线性方程组的解集

对于非齐次线性方程组

posted @ 2026-01-08 11:53  03Goose  阅读(8)  评论(0)    收藏  举报