一些范畴论的必要基础

无限概括原则与罗素悖论
在朴素集合论中，人们认为任何一个“性质”都可以定义一个集合，这个集合由所有满足该性质的元素组成，如：

• 性质“是自然数”，集合 \(\mathbb{N}\)
• 性质“是红色”，所有红色物体的集合

这种思想称为无限概括原则：

\[\{x \mid P(x) \} \]

对任何谓词 \(P\) 都存在一个集合。

罗素考虑这样一个性质：

\[x \not \in x \]

实际上，任何有限集合 \(x\) 都满足 \(x \not \in x\) ，否则 \(x\) 必然存在一个递归链会无限递归。

比如 \(A = \{1, 2, 3\}\) ，显然 \(1, 2, 3\) 属于 \(A\) ，但是 \(A = \{1, 2, 3\}\) 属于 \(A\) 吗？并不。
比如 \(B = \{1, 2, 3, \{1, 2, 3\}\}\) ，显然 \(1, 2, 3, \{1, 2, 3\}\) 属于 \(B\) ，但是 \(B = \{1, 2, 3, \{1, 2, 3\}\}\) 属于 \(B\) 吗？并不。

按照概括原则，可以定义集合

\[S = \{ x \mid x \not \in x \} \]

现在询问 \(S\) 是否满足 \(S \in S\) ？

1. 假设 \(S \in S\) 。
   根据 \(S\) 的定义，它的所有元素都满足 \(x \not \in x\) ，因此 \(S \in S\) 与 \(S\) 的定义矛盾。
2. 假设 \(S \not \in S\) 。
   那么 \(S\) 满足性质 \(R(x): x \not \in x\) ，则 \(S\) 应当满足 \(S \in S\) ，与假设 \(S \not \in S\) 矛盾。

这即是罗素悖论。

罗素悖论能给我们一个很好的解释，所有集合在一起不叫集合。一般而言，我们用“类”来表示一般的“集体”的概念。

范畴

我们称

\[\mathbf{C} = (\text{ob}(\mathbf{C}), \text{hom}(\mathbf{C})) \]

是一个范畴，如果它满足下列条件。

1. 对象：\(\text{ob}(\mathbf{C})\) 是一个类，称为 \(\mathbf{C}\) 中的对象。
2. 态射：\(\forall A, B \in \mathbf{C}\) ，我们都定义 \(\mathbf{C}(A, B) \subset \text{hom}(\mathbf{C})\) ，\(\mathbf{C}(A, B)\) 的元素称为从 \(A\) 到 \(B\) 的态射。
3. 复合运算：\(\forall g \in \mathbf{C}(B, C), f \in \mathbf{C}(A, B)\) ，都定义了它们的符合运算 \(g \circ f = \mathbf{C}(A, C)\) 。
4. 结合律：\(\forall h \in \mathbf{C}(C, D), g \in \mathbf{C}(B, C), f \in \mathbf{C}(A, B)\) ，我们都有 \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\) 。
5. 单位态射：\(\forall A \in \mathbf{C}\) ，存在 \(\operatorname{id}_{A} \in \mathbf{C}{A, A}\) ，使得：
   a. \(\forall B \in \mathbf{C}, f \in \mathbf{C}{A, B}\) ，都有 \(f \circ \operatorname{id}_{A} = f\)
   b. \(\forall g \in \mathbf{C}{B, A}\) ，都有 \(\operatorname{id}_{A} \circ g = g\) 。

不引起歧义的情况下，我们可以用全体对象的类 \(\text{ob}{\mathbf{C}}\) 来表示整个范畴 \(\mathbf{C}\) 。

常见范畴
我们用 \(\mathbf{Set}\) 表示所有集合构成的类，此后，可以用 \(A \in \mathbf{Set}\) 来表示 \(A\) 是一个集合。
接着，\(\forall A, B \in \mathbf{Set}\) ，我们用 \(\mathbf{Set}(A, B) = Hom_{\mathbf{Set}}(A, B)\) 来表示所有从 \(A\) 到 \(B\) 的映射构成的集合。
\(\forall A, B, C \in \mathbf{Set}\) ，都有良定义的复合运算

\[\circ: \mathbf{Set}(B, C) \times \mathbf{Set}(A, B) \to \mathbf{Set}(A, C) \]

将 \(\forall g \in \mathbf{Set}(B, C), f \in \mathbf{Set}(A, B)\) 映射到确定的复合运算 \(g \circ f \in \mathbf{Set}(A, C)\) 。
还有两个重要性质，结合律和恒等映射：

1. \(\forall h \in \mathbf{Set}(C, D), g \in \mathbf{Set}(B, C), f \in \mathbf{Set}(A, B)\) ，有 \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\) 。
2. \(\forall g \in \mathbf{Set}(B, A)\) ，都有 \(\operatorname{id}_{A} \circ g = g\) 。

函子
令 \(\mathbf{C}, \mathbf{D}\) 是两个范畴，称 \(F\) 是一个 \(C\) 到 \(D\) 的函子当且仅当

1. \(\forall A \in \mathbf{C}\) ，定义了 \(F(A) \in \mathbf{D}\) ，即函子把对象映到对象。
2. \(\forall A, B \in \mathbf{C}, f \in \mathbf{C}(A, B)\) ，定义了 \(F(f) \in \mathbf{D}(F(A), F(B))\) ，即函子把态射映到态射。
3. \(\forall A \in \mathbf{C}\) ，有 \(F(\operatorname{id}_{A}) = \operatorname{id}_{F(A)}\) ，函子把单位态射映到单位态射。
4. \(\forall A, B, C \in \mathbf{C}, f \in \mathbf{C}\){B, C}, g \in \mathbf{C}(A, B)$ ，有 \(F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)\) ，即函子把复合态射映到复合态射。