高等线性代数、数学分析复习大纲

高等线性代数

graph TD %% 基础核心 F[数域] --> V[向量空间] V --> LI[线性无关] LI --> BASIS[基与维数] V --> LM[线性映射] LM --> IMKER[像与核] IMKER --> RNT[秩零化度定理] %% 矩阵部分 BASIS --> MATREP[矩阵表示] LM --> MATREP MATREP --> MATOP[矩阵运算] MATOP --> TRANSPOSE[转置矩阵] MATOP --> DETCALC[行列式计算] DETCALC --> CHARPOL[特征多项式] %% 空间构造 LM --> QUOTIENT[商空间] SUBSPACE[子空间] --> QUOTIENT SUBSPACE --> ANNIHILATOR[零化子] %% 对偶理论 LM --> DUAL[对偶空间] DUAL --> DUALBASIS[对偶基] BASIS --> DUALBASIS DUAL --> ANNIHILATOR DUAL --> DUALMAP[对偶映射] LM --> DUALMAP DUALMAP --> TRANSDEEP[转置的深层意义] TRANSPOSE --> TRANSDEEP DUAL --> BIDUAL[双重对偶] DUALMAP --> BIDUALMAP[双重对偶映射] BIDUAL --> NATISO[自然同构] %% 内积空间 V --> INNER[内积空间] INNER --> ORTH[正交性] ORTH --> ORTHCOMP[正交补] SUBSPACE --> ORTHCOMP INNER --> GS[GramSchmidt正交化] BASIS --> GS GS --> ONB[标准正交基] %% Riesz连接 DUAL --> RIESZ[Riesz表示定理] INNER --> RIESZ RIESZ --> ADJOINT[伴随算子] LM --> ADJOINT ADJOINT --> CONJTRANSPOSE[共轭转置] TRANSPOSE --> CONJTRANSPOSE ONB --> CONJTRANSPOSE %% 特征值与分解 MATREP --> EIGEN[特征值] CHARPOL --> EIGEN EIGEN --> DIAG[可对角化] EIGEN --> JORDAN[若尔当标准型] LI --> JORDAN %% 谱定理 ADJOINT --> SPECTRAL[谱定理] DIAG --> SPECTRAL ADJOINT --> SVD[奇异值分解] %% 多重线性代数 V --> MULTILIN[多重线性代数] MULTILIN --> BILINEAR[双线性型] BILINEAR --> SYMBILIN[对称双线性型] SYMBILIN --> QUADFORM[二次型] QUADFORM --> ORTHDIAG[正交对角化] ORTH --> ORTHDIAG ORTHDIAG --> INERTIA[惯性定理] INERTIA --> POSDEF[正定性] MULTILIN --> ALTFORM[交错形式] ALTFORM --> DETGEOM[行列式几何定义] DETGEOM --> EXTERIOR[外代数] DUAL --> TENSOR[张量积] MULTILIN --> TENSOR %% 关键连接 DETGEOM --> CHARPOL POSDEF --> INNER %% 适度应用扩展 SVD --> LEASTSQR[最小二乘法] RNT --> LEASTSQR ORTHCOMP --> LEASTSQR SPECTRAL --> PCA[主成分分析] SVD --> PCA DETGEOM --> VOLUME[有向体积] VOLUME --> PARALLEL[平行六面体体积] EIGEN --> MATEXP[矩阵指数] MATEXP --> ODE[微分方程数值解] SYMBILIN --> MINKOWSKI[闵可夫斯基度规] ADJOINT --> QMOPERATOR[量子力学算符] TENSOR --> MULTIPARTICLE[多粒子态空间] %% 理论自然延伸 RIESZ --> HILBERT[希尔伯特空间] DUAL --> CONTINUOUS[连续线性泛函] EXTERIOR --> DIFFFORM[微分形式] TENSOR --> TENSORFIELD[张量场] MATOP --> GLGROUP[一般线性群] ORTH --> OGROUP[正交群]

数学分析

graph TD %% 基础部分 实数理论 --> 数列极限 实数理论 --> 函数基础 数列极限 --> 级数理论 函数基础 --> 函数极限 函数极限 --> 函数连续性 函数连续性 --> 连续函数性质 函数极限 --> 导数与微分 导数与微分 --> 微分中值定理 微分中值定理 --> 泰勒公式 微分中值定理 --> 洛必达法则 函数极限 --> 不定积分 不定积分 --> 定积分 定积分 --> 微积分基本定理 微分中值定理 --> 微积分基本定理 %% 一元函数深入 泰勒公式 --> 函数逼近 连续函数性质 --> 函数一致连续性 定积分 --> 积分应用 积分应用 --> 几何应用 积分应用 --> 物理应用 %% 多元函数 函数极限 --> 多元函数极限 多元函数极限 --> 多元连续性 导数与微分 --> 偏导数 偏导数 --> 全微分 全微分 --> 多元泰勒公式 偏导数 --> 方向导数 方向导数 --> 梯度 %% 多元积分 定积分 --> 重积分 重积分 --> 二重积分 重积分 --> 三重积分 定积分 --> 曲线积分 曲线积分 --> 第一型曲线积分 曲线积分 --> 第二型曲线积分 定积分 --> 曲面积分 曲面积分 --> 第一型曲面积分 曲面积分 --> 第二型曲面积分 %% 重要定理体系 全微分 --> 隐函数定理 隐函数定理 --> 反函数定理 梯度 --> 条件极值 条件极值 --> 拉格朗日乘数法 %% 积分定理 第二型曲线积分 --> 格林公式 第二型曲面积分 --> 高斯公式 第二型曲线积分 --> 斯托克斯公式 格林公式 --> 路径无关条件 路径无关条件 --> 保守场 %% 级数理论深入 级数理论 --> 数项级数 数项级数 --> 正项级数审敛法 数项级数 --> 任意项级数审敛法 级数理论 --> 函数项级数 函数项级数 --> 一致收敛性 一致收敛性 --> 幂级数 幂级数 --> 泰勒级数 泰勒公式 --> 泰勒级数 幂级数 --> 傅里叶级数 傅里叶级数 --> 傅里叶变换 %% 常微分方程 导数与微分 --> 常微分方程 常微分方程 --> 一阶ODE 一阶ODE --> 可分离变量 一阶ODE --> 一阶线性 一阶ODE --> 恰当方程 常微分方程 --> 高阶线性ODE 泰勒公式 --> 高阶线性ODE 高阶线性ODE --> 常系数线性 高阶线性ODE --> 变系数线性 %% 实分析基础 实数理论 --> 实数完备性 实数完备性 --> 聚点定理 实数完备性 --> 闭区间套定理 实数完备性 --> 有限覆盖定理 函数一致连续性 --> 函数列一致收敛 函数列一致收敛 --> 阿尔泽拉定理 定积分 --> 黎曼积分理论 黎曼积分理论 --> 可积性条件 黎曼积分理论 --> 勒贝格积分初步 %% 复分析连接 函数极限 --> 复变函数极限 导数与微分 --> 复导数 复导数 --> 柯西黎曼方程 曲线积分 --> 复积分 复积分 --> 柯西积分定理 柯西积分定理 --> 柯西积分公式 %% 应用延伸 傅里叶变换 --> 信号处理应用 梯度 --> 优化理论 拉格朗日乘数法 --> 经济学应用 斯托克斯公式 --> 电磁学麦克斯韦方程 高斯公式 --> 流体力学 %% 关键连接 微积分基本定理 --> 牛顿莱布尼茨公式 一致收敛性 --> 逐项积分 一致收敛性 --> 逐项求导 隐函数定理 --> 微分几何预备 全微分 --> 微分形式预备