对偶空间

线性无关
设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，\(S = \{ v_1, v_2, \cdots, v_m \},\quad m \geq 0\) 是 \(V\) 中的一个有限向量组（按顺序列出的一组向量），\(S\) 称为线性无关，若满足以下条件：

\[\forall c_1, c_2, \cdots, c_m \in \mathbb{F},\quad c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots c_m \mathbf{v}_m = \mathbf{0}_{V} \implies c_1 = c_2 = \cdots c_m = 0_{\mathbb{F}} \]

线性映射
设 \(V, W\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，一个映射 \(T: V \to W\) 称为线性映射，若果满足：

\[\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V, \forall \lambda \in \mathbb{F}: \begin{cases} T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}),\quad \text{(可加性)} \\ T(\lambda \mathbf{v}) = \lambda T(\mathbf{v}),\quad \text{(齐次性)} \\ \end{cases} \]

记 \(\text{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W)\) 为所有这种线性映射的集合。

通常，我们若需证明 \(T: V \to W\) 是线性映射，只需去证明

\[\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \quad T(\alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v}) = T(\alpha \mathbf{u}) + T(\beta \mathbf{v}) \]

线性映射的核（Kernel）与像（Image）
对于线性映射 \(T: V \to W\) ：

• 核：\(\operatorname{ker} T = \{v \in V \mid T(v) = 0 \} \subseteq V\)
• 像：\(\operatorname{im} T = \{T(v) \mid v \in V \} \subseteq W\)

当线性映射 \(T\) 用矩阵表示时，核能叫做零空间，像能叫做列空间。

基
定义 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间（向量空间也叫线性空间），\(S \subset V\) 是一个向量集合（可以是无限集合）。\(S\) 称为 \(V\) 的基，如果它满足以下两个条件：

1. \(S\) 线性无关

\[\forall \mathbf{v}_1, \cdots, \mathbf{v}_m \in V \in S, \forall \alpha_1, \cdots, \alpha_m \in \mathbb{F}, m \geq 0, \quad \alpha_1 \mathbf{v}_2 + \alpha_1 \mathbf{v}_2 + \cdots \alpha_m \mathbf{v}_m = \mathbf{0}_{V} \implies \alpha_1 = \cdots = \alpha_m = 0_{\mathbb{F}} \]

2. \(S\) 张成 \(V\)

\[\forall \mathbf{u} \in V, \exists \mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{k} \in V, \exists \beta_1, \cdots, \beta_k \in \mathbb{F},\quad u = \beta_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + \beta_k \mathbf{v}_k \]

当 \(S\) 是有限集 \(\{ e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n} \}\) 时，条件也等价于

1. \(S\) 线性无关

\[\forall \alpha_1, \cdots, \alpha_m \in \mathbb{F}, \quad \sum_{i = 1}^{m} \alpha_i \mathbf{e}_{i} = \mathbf{0}_{V} \implies \alpha_1 = \cdots = \alpha_m = 0_{\mathbb{F}} \]

2. \(S\) 张成 \(V\)

\[\forall \mathbf{v} \in V, \exists \beta_1, \cdots, \beta_{m} \in \mathbb{F}, \quad \mathbf{v} = \sum_{i = 1}^{n} \beta_i \mathbf{e}_i \]

向量在基下的分量的存在性和唯一性

由于 \(\mathcal{B}\) 张成 \(V\) ，则向量在基下的分量必然有存在性。

另外，向量在基下的分量有唯一性。

证明：
由于 \(S\) 张成 \(V\) ，则

\[\forall \mathbf{v} \in V, \exists \mathbf{s}_{1}, \cdots, \mathbf{s}_{k} \in V, \exists \alpha_1, \cdots, \alpha_k \in \mathbb{F},\quad \mathbf{v} = \alpha_1 \mathbf{s}_1 + \cdots + \alpha_k \mathbf{s}_k \]

\[\forall \mathbf{v} \in V, \exists \mathbf{t}_{1}, \cdots, \mathbf{t}_{k} \in V, \exists \beta_1, \cdots, \beta_m \in \mathbb{F},\quad \mathbf{v} = \beta_1 \mathbf{t}_1 + \cdots + \beta_m \mathbf{t}_m \]

考虑有限集 \(U = \{ s_1, \cdots, s_k, t_1, \cdots, t_m \} = \{u_1, \cdots, u_p\} \subseteq S\) ，则

\[\begin{aligned} \forall \mathbf{v} \in V,\quad \mathbf{v} = \begin{cases} \sum_{l = 1}^{n} \gamma_l \mathbf{u}_l, \quad \gamma_l = \begin{cases} \alpha_i,\quad s_i = u_l \\ 0,\quad s_i \neq u_l \\ \end{cases} \\ \sum_{l = 1}^{n} \delta_l \mathbf{u}_l, \quad \delta_l = \begin{cases} \beta_i,\quad t_i = u_l \\ 0,\quad s_i \neq u_l \\ \end{cases} \end{cases} \end{aligned} \]

于是 \(\sum_{l = 1}^{n} (\gamma_l - \delta_l) \mathbf{u}_l = 0\) ，由于 \(U \subseteq S\) 显然 \(U\) 线性无关，则 \(\gamma_l = \delta_l\) 。
\(\square\)

此处有一个显然但实用的常见结论：零向量不能在基中，因为无法满足基的线性无关性质。

坐标向量
设 \(V\) 是一个定义在域 \(F\) 上的 \(n\) 维线性空间，取定一组基

\[\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1,\cdots ,\mathbf{b}_n\} \subset V \]

那么任意向量 \(\mathbf{v} \in V\) 可以唯一表示为：

\[\mathbf{v} = \alpha_1 \mathbf{b}_1 + \cdots + \alpha_n \mathbf{b}_n, \quad \alpha_i \in \mathbb{F} \]

定义向量 \(\mathbf{v}\) 关于基 \(\mathcal{B}\) 的坐标向量为：

\[[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = \left [ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \\ \end{matrix} \right ] \in \mathbb{F}^{n} \]

当基明确时，有时简写成 \([\mathbf{v}]\) 。

维数
设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间

1. 若 \(V\) 中存在一个由有限个向量组成的基 \(B = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\}\) ，则称 \(V\) 是有限维的，并定义其维数为基中向量的个数，记作： \(\dim_{\mathbb{F}} V = n\) 。
2. 若 \(V\) 中不存在有限基，则称 \(V\) 是无限维的，记作 \(\dim_{\mathbb{F}} V = \infty\) 。
3. 特别的，零空间 \(\{ \mathbf{0}_{\mathbb{F}} \}\) 的基定义为空集 \(\emptyset\) ，故 \(\dim_{\mathbb{F}} \{ \mathbf{0}_{\mathbb{F}} \} = 0\) 。

当上下文中向量空间 \(V\) 的域 \(\mathbb{F}\) 明确且唯一时，接受的向量空间所在的域可以唯一确定，则 \(\dim_{\mathbb{F}}\) 通常写作 \(\dim\) 。

特别的，对于域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间 \(V\) 到 \(W\) 上线性映射 \(T\) ，\(\dim(\operatorname{ker}T)\) 写作 \(\text{nullity}(T)\) ，称作 \(T\) 的零化度；\(\dim(\operatorname{im}T)\) 写作 \(\text{rank}(T)\) ，称作 \(T\) 的秩。

秩—零化度定理（Rank–Nullity Theorem）
若 \(V\) 是有限维向量空间，\(T: V \to W\) 是线性映射，则

\[\text{nullity}(T) + \text{rank}(T) = \dim V \]

证明：
设 \(\dim V = n\) ，\(\dim(\operatorname{ker} T) = k,\quad (k \leq n)\) 。取 \(\operatorname{ker} T \subseteq V\) 的一组基

\[u_1, u_2, \cdots, u_k \]

并将扩张为 \(V\) 的一组基

\[u_1, u_2, \cdots, u_k, v_{k + 1}, \cdots, v_{n} \]

下证明 \(\{T(v_{k + 1}), \cdots, T(v_{n})\}\) 是 \(\operatorname{im} T \subseteq W\) 的一组基。
先证张成性。\(\forall w \in \operatorname{im} T \subseteq, \exists v \in V,\quad w = T(v)\) 满足

\[v = \sum_{i = 1}^{k} a_i u_i + \sum_{j = k + 1}^{n} b_j v_j \]

由 \(T(u_i) = \mathbf{0}_{W}\) 故

\[w = \sum_{j = k + 1}^{n} b_j T(v_j) \]

张成性成立。
再证线性无关性。设 \(\sum_{j = k + 1}^{n} c_j T(v_j) = \mathbf{0}_{W}\) ，则 \(T \left ( \sum_{j = k + 1}^{n} c_j v_j \right ) = \mathbf{0}\) ，则 \(\sum_{j = k + 1}^{n} c_j v_j \in \operatorname{ker} V\) ，于是它可以被 \(u_1, u_2, \cdots, u_k\) 线性表示即

\[\sum_{j = k + 1}^{n} c_j v_j = \sum_{i = 1}^{k} d_j v_j \]

移项 \(\sum_{i = 1}^{k} -d_j v_j + \sum_{j = k + 1}^{n} c_j v_j = \mathbf{0}_{W}\) ，由 \(u_1, u_2, \cdots, u_k, v_{k + 1}, \cdots, v_{n}\) 是 \(V\) 的基，则 \(-d_1, -d_2, \cdots, -d_k, c_{k + 1}, \cdots, c_{n}\) 都为 \(0\) ，故 \(c_{k + 1}, \cdots, c_{n}\) 都为 \(0\) ，于是 线性无关成立。

因此 \(\dim V - \dim(\ker T) = \dim(\operatorname{im} T)\) ，即 \(\dim V = \dim(\operatorname{ker} T) + \dim(\operatorname{im} T) = \text{nullity}(T) + \text{rank}(T)\) 。
\(\square\)

秩-零化度定理的推论：
对于有限维向量空间 \(V\) 到 \(W\) 的线性映射 \(T: V \to W\)

1. \(\dim(\operatorname{ker} T) = 0 \implies T \ \text{是单射}\)
2. \(\dim(\operatorname{im} T) = \dim W \implies T \ \text{是满射}\)

复合映射
设 \(f: A \to B\) 与 \(g: B \to C\) 为映射，则它们的复合映射 \(g \circ f: A \to C\) 定义为

\[(g \circ f)(x) := g(f(x)), \quad \forall x \in A \]

1. 复合的结合律
   设 \(f: A \to B, g: B \to C, h: C \to D\) ，则 \((h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)\)。
   证明：

   \[\begin{aligned} \forall a \in A,\quad [(h \circ g) \circ f](a) &= (h \circ g)(f(a)) \\ &= h(g(f(a))) \\ &= h((g \circ f)(a)) \\ &= [h \circ (g \circ f)](a) \end{aligned} \]

   \(\square\)

2. 复合保持单射、满射、双射
   设 \(f: A \to B, g: B \to C\) ，

   1. 若 \(f\) 和 \(g\) 都是单射，则 \(g \circ f\) 是单射

      证明：
      若 \((g \circ f)(x) = (g \circ f)(y)\) ，则 \(g(f(x)) = g(f(y))\) 。因为 \(g\) 是单射，的 \(f(x) = f(y)\) ，因为 \(f\) 是单射，得 \(x = y\) 。

      \(\square\)

   2. 若 \(f\) 和 \(g\) 都是满射，则 \(g \circ f\) 是满射

      证明：
      任取 \(z \in C\) ，由 \(g\) 满射，存在 \(y \in B\) 使 \(g(y) = z\) ，由 \(f\) 满射，存在 \(x \in A\) 使 \(f(x) = y\) 。则

      \[\forall z \in C, \exists x \in A, y \in B, \quad (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) \]

      \(\square\)

   3. 若 \(f\) 和 \(g\) 都是双射，则 \(g \circ f\) 是双射

   证明：若 \(f\) 和 \(g\) 是双射，则它们既是单射也是满射，则 \(g \circ f\) 既是单射也是满射，即是双射。

   \(\square\)

3. 线性映射情形下，复合的矩阵表示
   设

恒等映射
设 \(X\) 是一个集合，则恒等映射 \(id_{X}\) 定义为

\[\operatorname{id}_{X}: X \to X, \quad x \mapsto \operatorname{id}_{X}(x) = x \]

显然容易证明在线性空间 \(V\) 中，恒等映射 \(\operatorname{id}\) 也是线性映射。

1. 与复合运算的单位元性质

   \[\forall f: A \to B, g: B \to C,\quad \operatorname{id}_{B} \circ f = f, g \circ \operatorname{id}_{B} = g \]

   即任何映射与恒等映射复合，结果还是它自己。

   证明：

   \[(\operatorname{id}_{B} \circ f)(\mathbf{v}) = \operatorname{id}_{B} \circ f(\mathbf{v}) \]

2. 与自身的复合 \(\operatorname{id}_{V} \circ \operatorname{id}_{V} = \operatorname{id}_{V}\)

   证明
   由性质 \(1\) 可得。
   \(\square\)

3. 逆映射 \(\operatorname{id}_{V}^{-1} = \operatorname{id}_{V}\)

   证明
   由性质 \(2\) 可得。
   \(\square\)

同构映射（也称“线性同构”）
设 \(V, W\) 是同一个域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，一个线性映射 \(T: V \to W\) 称为同构映射，如果他满足

1. \(T\) 是单射：\(\operatorname{ker} T = \{ \mathbf{0}_{V} \}\) 。
2. \(T\) 是满射：\(\operatorname{im} T = W\) 。

等价的，一个线性映射 \(T: V \to W\) 称为同构映射，则存在线性映射 \(S: W \to V\) 使得

\[S \circ T = id_{V}, T \circ S = id_{W} \]

此时 \(S\) 称为 \(T\) 的逆，记作 \(T^{-1}\) ，不难证明 \(S\) 也是同构映射。

同构关系
设 \(V, W\) 是同一个域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，若 \(V\) 与 \(W\) 同构，当前节点存在一个从 \(V\) 到 \(W\) 的同构映射，记作 \(V \cong W\)

线性泛函
设 \(V\) 是定义在数域 \(\mathbb{F}\) 上的一个向量空间，一个泛函 \(f\) 是 \(V\) 到其基域 \(F\) 的一个映射 \(\phi\)

\[\phi : V \to \mathbb{F} \]

当 \(\phi\) 还拥有线性性，则泛函 \(\phi\) 称为线性泛函。（注意，这里 \(\mathbb{F}\) 本身也是 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，所以才有线性性的说法）

线性映射空间
设 \(V, W\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，线性映射空间 \(\text{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W)\) 表示所有这种线性映射 \(T: V \to W\) 构成的集合，且其中的元素配备两个逐点运算

1. 向量加法

\[\forall T_1, T_2 \in \text{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W), \forall \mathbf{v} \in V, \quad (T_1 + T_2)(\mathbf{v}) := T_1(\mathbf{v}) + T_2{\mathbf{v}} \]

2. 标量乘法

\[\forall T \in \text{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W), \forall \mathbf{v} \in V, \forall \lambda \in \mathbb{F}, \quad (\lambda T)(\mathbf{v}) = \lambda \cdot T(\mathbf{v}) \]

对偶空间
设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间， \(V\) 的对偶空间定义为

\[V^{*} = \text{Hom}_{\mathbb{F}}(V, \mathbb{F}) \]

显然 \(V^{*}\) 是一个线性泛函空间。

对偶基
设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的有限维向量空间，\(\text{dim} V = n\) ，且 \(\mathcal{B} = \{b_1, \cdots, b_n\} \subseteq V\) 是 \(V\) 的一组基。对偶基是指对偶空间 \(V^{*}\) 中唯一的一组基 \(\mathcal{B}^{*} = \{b^{1}, \cdots, b^{n}\}\) 满足：

\[b^{i}(b_{j}) = \delta^{i}_{j} = \begin{cases} 1, i = j, \\ 0, i \neq j. \\ \end{cases} \quad \forall i, j = 1, \cdots, n \]

显然其中的 \(\mathbf{b}^{i}\) 是线性泛函。

1. \(\mathcal{B}^{*} = \{b^{1}, \cdots, b^{n}\}\) 是 \(V^{*}\) 的一组基
   证明：

   \[\begin{aligned} \forall \alpha_1, \cdots, \alpha_n \in \mathbb{F}, \sum_{i = 1}^{n} \alpha_i \mathbf{b}_i = 0_{V^{*}} \ \text{(零泛函)}, \quad 0_{V^{*}}(\mathbf{b}_j) &= \left ( \sum_{i = 1}^{n} \alpha_i \mathbf{b}^i \right )(\mathbf{b}_j) \\ &= \sum_{i = 1}^{n} \alpha_i \mathbf{b}^i(\mathbf{b}_j) \\ &= \sum_{i = 1}^{n} \alpha_i \delta^{i}_j = a_j,\quad i = 1, 2, \cdots, n \end{aligned} \]

   由 \(V^{*}\) 是线性泛函空间，则泛函 \(0_{V^{*}}\) 有线性性，不难证明 \(0_{V^{*}}(\mathbf{b}_j) = 0_{\mathbb{F}}\) 。于是 \(\mathcal{B}^{*}\) 线性无关。

   若对于任意 \(f \in V^{*}\) ，存在 \(\beta_1, \cdots, \beta_n \in \mathbb{F}\) 满足 \(f = \sum_{i = 1}^{n} \beta_i \mathbf{b}^{i}\) ，则 \(\mathcal{B}^{*} = \{\mathbf{b}^{1}, \cdots, \mathbf{b}^{n}\}\) 张成 \(V^{*}\) 。只需令 \(\beta_{i} = f(\mathbf{b}_i)\) ，则 \(\mathcal{B}^{*}\) 张成 \(V^{*}\) 。

2. 对偶基有存在性和唯一性

   证明：
   对于每个 \(i = 1, 2, \cdots, n\) ，定义映射 \(e^{i}: V \to \mathbb{F}\) 。
   因为 \(\mathcal{B} = \{b_1, \cdots, b_n\}\) 是 \(V\) 的基，则

   \[\forall \mathbf{v} \in V, \exists x_1, \cdots, x_n, \quad \mathbf{v} = \sum_{i = 1}^{n} x_i \mathbf{b}_i \]

   因为 \(e^{i}\) 是线性的，则

   \[b^{i}(\mathbf{v}) = \sum_{i = j}^{n} x_j b^{i}(\mathbf{b}_j) = \sum_{i = j}^{n} x_j \delta^{i}_{j} = x_i \]

   于是 \(b^{i}\) 唯一。

   接下来只需验证 \(b^{i}\) 是线性泛函。

   设 \(\mathbf{v} = \sum_{i} x_i b_i, \mathbf{w} = \sum_{i} y_i e_i, \alpha, \beta \in \mathbb{F}\) ，则

   \[\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} = \sum_{i} (\alpha x_i + \beta y_i) b_i \]

   于是

   \[b^{i}(\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w}) = \alpha x_i + \beta y_i = \alpha b^{i}(\mathbf{v}) + \beta b^{i}(\mathbf{w}) \]

   于是 \(b^{i} \in V^{*}\) ，故 \(b^{i}\) 是线性泛函。
   \(\square\)

（注：对偶基只定义在了有限维上，并且也只证明了有限维下对偶基的存在性与唯一性。这里暂时无法讨论无限维的情况，实际上可以证明无限维向量空间上不存在对偶基。）

对偶基的推论：域 \(F\) 上的有限维向量空间 \(V\) 与它的对偶空间 \(V^{*}\) 满足 \(V \cong V^{**}\) 。
证明：
取域 \(\mathbb{F}\) 上 有限维向量空间 \(V\) 中一组基 \(\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1, \cdots, \mathbf{b}_n \}\) 在 \(V^{*}\) 中的对偶基 \(\mathcal{B}^{*} = \{\mathbf{b}^1, \cdots, \mathbf{b}^n \}\) ，则有 \(|\mathcal{B}| = |\mathcal{B}^{*}|\) ，根据维数定义满足 \(\text{dim} V^{*} = \text{dim} V = n < \infty\) 。构造映射

\[T: V \to V^{*}, \quad \mathbf{v} = [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} \mathcal{B} \mapsto [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}^{*}} \mathcal{B}^{*} \]

由

\[\begin{aligned} \forall \mathbf{v} = [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}, \mathbf{w} = [\mathbf{w}]_{\mathcal{B}} \in V, \alpha, \beta \in \mathbb{F},\quad T(\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w}) &= T(\alpha [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} + \beta [\mathbf{w}]_{\mathcal{B}}) \\ &= \alpha [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}^{*}} + \beta [\mathbf{w}]_{\mathcal{B}^{*}} \\ &= \alpha T([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}^{*}}) + \beta T([\mathbf{w}]_{\mathcal{B}^{*}}) \\ &= \alpha T(\mathbf{v}) + \beta T(\mathbf{w}) \\ \end{aligned} \]

则 \(T\) 是线性映射。
只需证明 \(\text{dim}(\text{ker} T) = 0\) 则可证明 \(T\) 是单射，证明 \(\text{dim}(\text{im} T) = \text{dim} V^{*}\) 则可证明 \(T\) 是满射。于是存在一个 \(V\) 到 \(V^{*}\) 的映射 \(T\) 是线性同构。于是 \(V \cong V^{*}\) 。

双重对偶空间
对于 \(V\) 的对偶空间 \(V^{*}\) ，因为其本身是向量空间，则他的对偶空间

\[V^{**} := (V^{*})^{*} = \text{Hom}_{\mathbb{F}}(V^{*}, \mathbb{F}) \]

\(V^{**}\) 依然是线性泛函空间。

典范嵌入
对于数域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间 \(V\) ，典范嵌入是从 \(V\) 到它的双重对偶空间 \(V^{**}\) 上的一个映射 \(\iota_{V}\) 满足

\[\iota_{V}: V \to V^{**},\quad \mathbf{v} \mapsto (\phi_{V^{*}} \mapsto \phi_{V^{*}}(\mathbf{v})) \]

或者说 \(\iota_{V}: V \to V^{**}\) 定义为

\[[ \iota_{V}(\mathbf{v}) ](\phi) := \phi(\mathbf{v}),\quad \forall \mathbf{v} \in V, \phi \in V^{*} \]

（注意这里对线性映射的定义，没有依赖基的选择）

1. 典范嵌入有线性性
   证明：

   \[\begin{aligned} \forall \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V, \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \phi \in V^{*}, \quad [\iota_{V}(\alpha \mathbf{v}_1 + \beta \mathbf{v}_2)](\phi) &= \phi(\alpha \mathbf{v}_1 + \beta \mathbf{v}_2)) \\ &= \alpha \phi(\mathbf{v}_1) + \beta \phi(\mathbf{v}_2) \\ &= [\alpha \iota_{V}(\mathbf{v}_1)](\phi) + [\beta \iota_{V}(\mathbf{v}_2)](\phi) \\ &= [\alpha \iota_{V}(\mathbf{v}_1) + \beta \iota_{V}(\mathbf{v}_2)](\phi) \\ \end{aligned} \]

   \(\square\)

2. 有限维下的典范嵌入是单射
   证明：
   设 \(\mathbf{v} \in \text{ker} \ \iota_{V}\) ，即 \(\iota_{V}(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_{V^{**}}\) ，此时有

   \[\forall \phi \in V^{*},\quad [\iota_{V}(\mathbf{v})](\phi) = \text{eval}_{\mathbf{v}}(\phi) = \phi(\mathbf{v}) = 0 \]

   假设 \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}_{V}\) ，则 \(\mathbf{v}\) 可扩充为 \(V\) 的一组基。设 \(\text{dim} V = n\) ，那么不妨取 \(\{\mathbf{v}, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n\}\) 是 \(V\) 的一组基，则 \(V^{*}\) 会有一组对偶基 \(\{ \mathbf{v}^{'}, \mathbf{e}^{2}, \cdots, \mathbf{e}^{n} \}\) 满足

   \[\mathbf{v}^{'}(\mathbf{v}) = 1, \mathbf{e}^{2}(\mathbf{e}_2) = 0, \cdots, \mathbf{e}^{n}(\mathbf{e}_n) = 0 \]

   这和 \(\forall \phi \in V^{*}, \quad \phi(\mathbf{v}) = 0\) 矛盾。则 \(\mathbf{v} = \mathbf{0}_{V}\) ，从而 \(\text{ker} \ \iota_{V} = 0_{V}\) 。假设存在 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\) 满足 \(\iota_{V}(\mathbf{u}) = \iota_{V}(\mathbf{v})\) ，则由 \(\iota_{V}\) 的线性性有

   \[\iota_{V}(\mathbf{u}) - \iota_{V}(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_{V^{**}} \implies \iota_{V}(\mathbf{u} - \mathbf{v}) = \mathbf{0}_{V^{**}} \implies \mathbf{u} - \mathbf{v} \in \text{ker} \ \iota_{V} \implies \mathbf{u} = \mathbf{v} \]

   于是 \(\iota_{V}\) 是单射。
   \(\square\)

   （注：无限维下的典范映射依然是单射，但目前无法讨论。）

3. 有限维下的典范嵌入是线性同构（同构映射）
   证明：
   不难通过取对偶基证明 \(\text{dim} V = n \implies \text{dim} V^{*} = n \implies \text{dim} V^{**} = n\) 。由典范映射 \(\iota_{V}: V \to V^{**}\) 是单射，则 \(\text{ker} \iota_{V} = \{ 0_{V} \} \implies \text{dim}(\text{ker} \ \iota_{V}) = 0\) 。若 \(\text{dim} V = \text{dim} V^{**} = n < \infty\) ，由秩-零化度定理 \(\text{dim} V = \text{nullity}(\iota_{V}) + \text{rank}(\iota_{V}) = \text{dim}(\text{ker} \ \iota_{V}) + \text{dim}(\text{im} \ \iota_{V})\) 则 \(\text{dim}(\text{im} \ \iota_{V}) = n - 0 = n = \text{dim} W\) ，由 \(\text{im} \ \iota_{V} \subseteq W\) 于是 \(\text{im} \ \iota_{V} = W\) 。因此 \(\iota_{V}\) 是满射。
   则有限维下的 \(\iota_{V}\) 既是线性单射也是线性满射，则有限维下的 \(\iota_{V}\) 是线性同构。
   \(\square\)

   （注：无限维下的典范映射不是满射，但目前无法讨论。）

（注：典范嵌入满足线性映射的定义不依赖基的选择，但不代表存在性的证明一定不依赖基。）

定义不依赖基的例子：

有限维情况下。\(V\) 到 \(V^{*}\) 的线性映射依赖于基的选择。比如选择 \(V\) 中一组基，并定义对偶空间 \(V^{*}\) 中的对偶基。

有限维情况下。\(V\) 到 \(V^{**}\) 的典范嵌入 \(\iota_{V}\) 不依赖基的选择。定义 \([\iota_{V}(\mathbf{v})](\phi) := \phi(\mathbf{v})\) 。只需固定一个 \(\mathbf{v} \in V\) ，输入一个 \(V\) 到 \(V^{*}\) 的线性泛函 \(\phi\) ，输出一个数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(\phi(\mathbf{v})\) 。没有用到任何基。

对偶映射
设 \(U, V, W\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，\(T: V \to W\) 是线性映射，则 \(T\) 的对偶映射是 \(W^{*}\) 到 \(V^{*}\) 上的一个映射

\[T^{*}: W^{*} \to V^{*} \]

定义为

\[[T^{*}(g)](v) := g(T(\mathbf{v})),\quad \forall g \in W^{*}, v \in V \]

1. 对偶映射是线性的
   证明：

   \[\begin{aligned} \forall \phi, \psi \in W^{*}, \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \mathbb{v} \in V,\quad [T^{*}(\alpha \phi + \beta \psi)](\mathbf{v}) &= (\alpha \phi + \beta \psi)(T(\mathbf{v})) \\ &= \alpha \phi(T(\mathbf{v})) + \beta \psi(T(\mathbf{v})) \\ &= \alpha [T^{*}(\phi)](\mathbf{v}) + \beta [T^{*}(\psi)](\mathbf{v}) \end{aligned} \]

   所以 \(T^{*}(\alpha \phi + \beta \psi) = \alpha T^{*}(\phi) + \beta T^{*}(\psi)\) 。
   \(\square\)

2. 复合映射的对偶是对偶的复合映射 \((T \circ S)^{*} = S^{*} \circ T^{*}\)
   证明：
   对于线性映射 \(S: U \to V, T: V \to W\) ，对任意的 \(\forall \phi \in W^{*}, \mathbf{u} \in U\) ，有

   \[\begin{aligned} \left [ (T \circ S)^{*}(\phi) \right ](\mathbf{u}) &= \phi((T \circ S)(\mathbf{u})) = \phi(T(S(\mathbf{u}))) \\ [S^{*} \circ T^{*}(\phi)](\mathbf{u}) &= [S^{*}(T^{*}(\phi))](\mathbf{u}) = (T^{*}(\phi))(S(\mathbf{u})) = \phi(T(S(\mathbf{u}))) \\ \end{aligned} \]

   两式相等 \(\left [ (T \circ S)^{*}(\phi) \right ](\mathbf{u}) = [S^{*} \circ T^{*}(\phi)](\mathbf{u})\) ，所以 \((T \circ S)^{*} = S^{*} = T^{*}\) 。
   \(\square\)

3. 单位映射的对偶是对偶空间上的单位映射 \((\operatorname{id}_{V})^{*} = \operatorname{id}_{V^{*}}\)
   证明：

   \[\forall \phi \in V^{*}, \mathbf{v} \in V,\quad [(\operatorname{id}_{V})^{*}(\phi)](\mathbf{v}) = \phi(\operatorname{id}_{V}(\mathbf{v})) = [\operatorname{id}_{V^{*}}(\phi)](\mathbf{v}) \]

   \(\square\)

双重对偶映射
设 \(U, V, W\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，\(T: V \to W\) 是线性映射，则 \(T\) 的双重对偶映射定义为 \(T^{**} = (T^{*})^{*}\)
可以验证 \(T^{**}\) 是 \(V^{**}\) 到 \(W^{**}\) 的一个映射

\[T^{**}: V^{**} \to W^{**} \]

定义为

\[[T^{**}(\phi)](g) := \phi(T^{*}(\psi)),\quad \forall \phi \in V^{**}, \psi \in W^{*} \]

1. 典范嵌入与双重对偶映射交换 \(\iota_{W} \circ T = T^{**} \circ \iota_{V}\)

   即如下图交换（从起点 \(V\) 到终点 \(W^{**}\) 的两条不同路径给出相同的结果）

   \[\begin{array}{ccc} V & \xrightarrow{T} & W \\ \downarrow{\scriptstyle \iota_{V}} & & \downarrow{\scriptstyle \iota_{W}} \\ V^{**} & \xrightarrow{T^{**}} & W^{**} \end{array} \]

   证明：
   对于任意 \(\mathbf{v} \in V, \phi \in W^{**}\) ，
   左边：

   \[[\iota_{W}(T(\mathbf{v}))](\phi) = \phi(T(\mathbf{v})) \]

   右边：

   \[[T^{**}(\iota_{V}(\mathbf{v}))] = [\iota_{V}(\mathbf{v})](T^{*}(\phi)) = (T^{*}(\phi))(\mathbf{v}) = \phi(T(\mathbf{v})) \]

   两边相等，即 \(\iota_{W} \circ T = T^{**} \circ \iota_{V}\) 。
   \(\square\)

   进一步的，对于任意线性映射 \(T：V \to W\) ，只有典范嵌入能实现这种交换图。否则我们可以通过组合数学的算两次原理，证明这种映射其实就是典范嵌入的另一种形式。

2. 有限维下典范嵌入自然性与双重对偶映射的联系
   已知若 \(\dim V < \infty\) ，则 \(\iota_{V}\) 是不依赖基的选择的线性同构，则能推出 \(\iota_{V}\) 是可交换的。则此时可通过 \(\iota_{V}\) 将 \(V\) 的对象和映射都拉到 \(V^{**}\) 上，通过 \(\iota_{W}\) 将 \(W\) 的对象和映射都拉到 \(W^{**}\) 上，此时视作 \(T = T^{**}\) 。

   证明：
   由有限维下，典范嵌入 \(\iota_{V}, \iota_{W}\) 是线性同构，则它们可逆。由 \(\iota_{W} \circ T = T^{**} \circ \iota_{V}\) ，\(T = \iota_{W}^{-1} \circ T^{**} \circ \iota_{V}\) 。

   这意味着 \(\forall \mathbf{v} \in V\) ，通过 \(\iota_{V}\) 将其送到 \(V^{**}\) ，通过线性映射 \(T^{**}\) 到 \(W^{**}\) ，再通过 \(\iota_{W}^{-1}\) 拉回 \(W\) ，等同于 \(v\) 直接通过线性映射 \(T\) 到 \(W\) 。

   更直观的理解，若 \(\iota_{V}\) 是不依赖基的选择的线性同构，且 \(\iota_{V}\) 是可交换的，则此时可通过 \(\iota_{V}\) 将 \(V\) 的对象和映射都拉到 \(V^{**}\) 上，通过 \(\iota_{W}\) 将 \(W\) 的对象和映射都拉到 \(W^{**}\) 上，此时视作 \(\iota_{V} = id_{V}, \iota_{W} = id_{W}\) ，于是有

   \[T: V \to W = \iota_{W}^{-1} \circ T^{**} \circ \iota_{V} = \operatorname{id}_{W}^{-1} \circ T^{**} \circ id_{V} = T^{**} \]

   \(\square\)

对偶基的对偶基

设 \(V\) 为域 \(F\) 上的有限维向量空间 ， \(\dim V = n < \infty\) ，取 \(V\) 的一组基 \(\mathcal{B} = \{ b_1, \cdots, b_n \}\) ，起对偶基 \(\mathcal{B}^{*} = \{ b^{1}, \cdots, b^{n} \} \subset V^{*},\quad b^{i}(b_j) = \delta_{i}^{j}\) 。

\(\{\iota_{V}(b_1), \iota_{V}(b_n)\}\) 是 \(V^{**}\) 的基，且恰为 \(\mathcal{B}\) 的对偶基。

这表明 \(\iota_{V}\) 将原空间的基映射为 \(V^{**}\) 中与 \(\mathcal{B}^{*}\) 对偶的基，这是 \(\iota_{V}\) 为线性同构的一个具体表现。

证明：

\[[\iota_{V}(b_i)](b^{j}) = b^{j}(b_{i}) = \delta_{i}^{j} \]

\(\square\)

有限维对偶基的矩阵表示

设 \(V, W\) 为域 \(F\) 上的有限维向量空间，\(\dim V = n < \infty\) ，\(\dim W = m < \infty\) 。

取 \(V\) 的一组基 \(\mathcal{E} = \{e_1, \cdots, e_n\} \subset V\) 及其对偶基 \(\mathcal{E}^{*} = \{e^{1}, \cdots, e^{m}\} \subset V^{*}\) 。取

\(W\) 的一组基 \(\mathcal{F} = \{f_1, \cdots, f_m\} \subset W\) 及其对偶基 \(\mathcal{F}^{*} = \{f^{1}, \cdots, f^{m}\} \subset W^{*}\) 。

设线性映射 \(T: V \to W\) ，对于任意 \(e_i\) ，根据基的性质，存在唯一一组 \(a_{1i}, a_{2i}, \cdots, a_{mi}\) 满足

\[T(e_i) = \sum_{j = 1}^{m} a_{ji} f_j \subset W \]

令线性映射 \(T\) 的矩阵表示是 \(A = (a_{ji})\) ，我们声称 \(T\) 的对偶映射 \(T^{*}: W^{*} \to V^{*}\) 在基 \(\mathcal{F}^{*} \subset W^{*}, \mathcal{E}^{*} \subset V^{*}\) 下的矩阵表示是 \(A^{T} = (a_{ij})\) 。

这表明，在有限维下，原映射矩阵的转置，就是原映射的对偶映射。

证明：

不妨设

\[T^{*}(f^{j}) = \sum_{k = 1}^{n} b_{kj}e^{k} \subset V^{*} \]

左边

\[[T^{*}(f^{j})](e_{i}) = f^{j}(T(e_{i})) = f^{j} \left ( \sum_{l = 1}^{m} a_{li} f_{l} \right ) = a_{ji} \]

右边

\[\left [ \sum_{k = 1}^{n} b_{kl} e^{k} \right ](e_i) = \sum_{k = 1}^{n} b_{kj} \left (e^{k}(e_{i}) \right ) = \sum_{k = 1}^{n} b_{kj} \delta_{k}^{i} = b_{ij} \]

于是 \(b_{ij} = a_{ji}\) ，则 \(B = (b_{ij}) = (a_{ij}) = A^{T}\)

\(\square\)