对偶空间

线性无关
设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，\(S = \{ v_1, v_2, \cdots, v_m \},\quad m \geq 0\) 是 \(V\) 中的一个有限向量组（按顺序列出的一组向量），\(S\) 称为线性无关，若满足以下条件：

\[\forall c_1, c_2, \cdots, c_m \in \mathbb{F},\quad c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots c_m \mathbf{v}_m = \mathbf{0}_{V} \implies c_1 = c_2 = \cdots c_m = 0_{\mathbb{F}} \]

线性映射
设 \(V, W\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，一个映射 \(T: V \to W\) 称为线性映射，若果满足：

\[\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V, \forall \lambda \in \mathbb{F}: \begin{cases} T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}),\quad \text{(可加性)} \\ T(\lambda \mathbf{v}) = \lambda T(\mathbf{v}),\quad \text{(齐次性)} \\ \end{cases} \]

记 \(\text{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W)\) 为所有这种线性映射的集合。

通常，我们若需证明 \(T: V \to W\) 是线性映射，只需去证明

\[\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \quad T(\alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v}) = T(\alpha \mathbf{u}) + T(\beta \mathbf{v}) \]

线性映射的核（Kernel）与像（Image）
对于线性映射 \(T: V \to W\) ：

• 核：\(\text{ker} T = \{v \in V \mid T(v) = 0 \}\)
• 像：\(\text{im} T = \{T(v) \mid v \in V \} \subseteq W\)

当线性映射 \(T\) 用矩阵表示时，核能叫做零空间，像能叫做列空间。

基
定义 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，\(S \subseteq V\) 是一个向量集合（可以是无限集合）。\(S\) 称为 \(V\) 的基，如果它满足以下两个条件：

1. \(S\) 线性无关

\[\forall \mathbf{v}_1, \cdots, \mathbf{v}_m \in V \in S, \forall \alpha_1, \cdots, \alpha_m \in \mathbb{F}, m \geq 0, \quad \alpha_1 \mathbf{v}_2 + \alpha_1 \mathbf{v}_2 + \cdots \alpha_m \mathbf{v}_m = \mathbf{0}_{V} \implies \alpha_1 = \cdots = \alpha_m = 0_{\mathbb{F}} \]

2. \(S\) 张成 \(V\)

\[\forall \mathbf{u} \in V, \exists \mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{k} \in V, \exists \beta_1, \cdots, \beta_k \in \mathbb{F},\quad u = \beta_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + \beta_k \mathbf{v}_k \]

当 \(S\) 是有限集 \(\{ e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n} \}\) 时，条件也等价于
\(S\) 线性无关

\[\forall \alpha_1, \cdots, \alpha_m \in \mathbf{F}, \quad \sum_{i = 1}^{n} \alpha_i \mathbf{e}_{i} = \mathbf{0}_{V} \implies \alpha_i = 0, \ i = 1, \cdots, n \]

\(S\) 张成 \(V\)

\[\forall \mathbf{v} \in V, \exists \beta_1, \cdots, \beta_{n} \in \mathbf{F}, \quad \mathbf{v} = \sum_{i = 1}^{n} \beta_i \mathbf{e}_i \]

特别的，不难证明 \(S\) 张成 \(V\) 不仅有存在性，也具有唯一性
证明：
由于 \(S\) 张成 \(V\) ，则

\[\forall \mathbf{v} \in V, \exists \mathbf{s}_{1}, \cdots, \mathbf{s}_{k} \in V, \exists \alpha_1, \cdots, \alpha_k \in \mathbb{F},\quad \mathbf{v} = \alpha_1 \mathbf{s}_1 + \cdots + \alpha_k \mathbf{s}_k \]

\[\forall \mathbf{v} \in V, \exists \mathbf{t}_{1}, \cdots, \mathbf{t}_{k} \in V, \exists \beta_1, \cdots, \beta_m \in \mathbb{F},\quad \mathbf{v} = \beta_1 \mathbf{t}_1 + \cdots + \beta_m \mathbf{t}_m \]

考虑有限集 \(U = \{ s_1, \cdots, s_k, t_1, \cdots, t_m \} = \{u_1, \cdots, u_p\} \subseteq S\) ，则

\[\begin{aligned} \forall \mathbf{v} \in V,\quad \mathbf{v} = \begin{cases} \sum_{l = 1}^{n} \gamma_l \mathbf{u}_l, \quad \gamma_l = \begin{cases} \alpha_i,\quad s_i = u_l \\ 0,\quad s_i \neq u_l \\ \end{cases} \\ \sum_{l = 1}^{n} \delta_l \mathbf{u}_l, \quad \delta_l = \begin{cases} \beta_i,\quad t_i = u_l \\ 0,\quad s_i \neq u_l \\ \end{cases} \end{cases} \end{aligned} \]

于是 \(\sum_{l = 1}^{n} (\gamma_l - \delta_l) \mathbf{u}_l = 0\) ，由于 \(U \subseteq S\) 显然 \(U\) 线性无关，则 \(\gamma_l = \delta_l\) 。
\(\square\)

维数
设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间

1. 若 \(V\) 中存在一个由有限个向量组成的基 \(B = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\}\) ，则称 \(V\) 是有限维的，并定义其维数为基中向量的个数，记作： \(\text{dim}_{\mathbb{F}} V = n\) 。
2. 若 \(V\) 中不存在有限基，则称 \(V\) 是无限维的，记作 \(\text{dim}_{\mathbb{F}} V = \infty\) 。
3. 特别的，零空间 \(\{ \mathbf{0} \}\) 的基定义为空集 \(\emptyset\) ，故 \(\text{dim} \{ \mathbf{0} \} = 0\) 。

\(\text{dim}(\text{ker}T)\) 也叫做 \(\text{nullity}(T)\) ，称作零化度。\(\text{dim}(\text{im}T)\) 也叫做 \(\text{rank}(T)\) ，称作秩。

秩—零化度定理（Rank–Nullity Theorem）
若 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的有限维向量空间，\(T: V \to W\) 是线性映射，则

\[\text{rank}(T) + \text{nullity}(T) = \text{dim} V \]

证明：
设 \(\text{dim} V = n\) ，\(\text{dim}(\text{ker} T) = k,\quad (k \leq n)\) 。取 \(\text{ker} T\) 的一组基

\[u_1, u_2, \cdots, u_k \]

并将扩张为 \(V\) 的一组基

\[u_1, u_2, \cdots, u_k, v_{k + 1}, \cdots, v_{n} \]

下证明 \(\{T(v_{k + 1}, \cdots, T(v_{n}))\}\) 是 \(\text{im} V\) 的一组基。
先证张成性。\(\forall w \in \text{im} T, \exists v \in V,\quad w = T(v)\) 满足

\[v = \sum_{i = 1}^{k} a_i u_i + \sum_{j = k + 1}^{n} b_j v_j \]

由 \(T(u_i) = 0\) 故

\[w = \sum_{j = k + 1}^{n} b_j T(v_j) \]

张成性成立。
再证线性无关性。设 \(\sum_{j = k + 1}^{n} c_j T(v_j) = \mathbf{0}\) ，则 \(T \left ( \sum_{j = k + 1}^{n} c_j v_j \right ) = \mathbf{0}\) ，则 \(\sum_{j = k + 1}^{n} c_j v_j \in \text{ker} V\) ，于是它可以被 \(u_1, u_2, \cdots, u_k\) 线性表示即

\[\sum_{j = k + 1}^{n} c_j v_j = \sum_{i = 1}^{k} d_j v_j \]

移向 \(\sum_{i = 1}^{k} -d_j v_j + \sum_{j = k + 1}^{n} c_j v_j = \mathbf{0}\) ，由 \(u_1, u_2, \cdots, u_k, v_{k + 1}, \cdots, v_{n}\) 是 \(V\) 的基，则 \(-d_1, -d_2, \cdots, -d_k, c_{k + 1}, \cdots, c_{n}\) 都为 \(0\) ，故 \(c_{k + 1}, \cdots, c_{n}\) 都为 \(0\) ，于是 线性无关成立。

因此 \(\text{dim} V - \text{dim}(\ker V) = \text{dim}(\text{im} V)\) ，即 \(\text{dim} V = \text{dim}(\text{im} V) + \text{dim}(\ker V) = \text{rank}(T) + \text{nullity}(T)\) 。
\(\square\)

恒等映射
设 \(X\) 是一个集合，则恒等映射 \(id_{X}\) 定义为

\[\text{id}_{X}: X \to X, \quad x \mapsto \text{id}_{X}(x) = x \]

同构映射
设 \(V, W\) 是同一个域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，一个线性映射 \(T: V \to W\) 称为同构映射，如果他满足

1. \(T\) 是单射：\(\text{ker} T = \{ \mathbf{0}_{V} \}\) 。
2. \(T\) 是满射：\(\text{im} T = W\) 。

等价的，存在线性映射 \(S: W \to V\) 使得

\[S \circ T = id_{V}, T \circ S = id_{W} \]

此时 \(S\) 称为 \(T\) 的逆，记作 \(T^{-1}\) ，不难证明 \(S\) 也是同构映射。

同构关系
设 \(V, W\) 是同一个域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，若 \(V\) 与 \(W\) 同构，当前节点存在一个从 \(V\) 到 \(W\) 的同构映射，记作 \(V \cong W\)

线性泛函
设 \(V\) 是定义在数域 \(\mathbb{F}\) 上的一个向量空间，一个泛函 \(f\) 是 \(V\) 到其基域 \(F\) 的一个映射 \(\phi\)

\[\phi : V \to \mathbb{F} \]

当 \(\phi\) 是线性映射，这个泛函称为线性泛函。

线性映射空间
设 \(V, W\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，线性映射空间 \(\text{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W)\) 表示所有这种线性映射 \(T: V \to W\) 构成的集合，且其中的元素配备两个逐点运算

1. 向量加法

\[\forall T_1, T_2 \in \text{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W), \forall \mathbf{v} \in V, \quad (T_1 + T_2)(\mathbf{v}) := T_1(\mathbf{v}) + T_2{\mathbf{v}} \]

2. 标量乘法

\[\forall T \in \text{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W), \forall \mathbf{v} \in V, \forall \lambda \in \mathbb{F}, \quad (\lambda T)(\mathbf{v}) = \lambda \cdot T(\mathbf{v}) \]

对偶空间
设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间， \(V\) 的对偶空间定义为

\[V^{*} = \text{Hom}_{\mathbb{F}}(V, \mathbb{F}) \]

显然 \(V^{*}\) 是一个线性泛函空间。

对偶基
设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的有限维向量空间，\(\text{dim} V = n\) ，且 \(\mathcal{B} = \{e_1, \cdots, e_n\} \subseteq V\) 是 \(V\) 的一组基。对偶基是指对偶空间 \(V^{*}\) 中唯一的一组基 \(\mathcal{B}^{*} = \{e^{1}, \cdots, e^{n}\}\) 满足：

\[e^{i}(e_{j}) = \delta^{i}_{j} = \begin{cases} 1, i = j, \\ 0, i \neq j. \\ \end{cases} \quad \forall i, j = 1, \cdots, n \]

其中的 \(e^{i}\) 是线性泛函。

不难验证 \(\mathcal{B}^{*} = \{e^{1}, \cdots, e^{n}\}\) 是线性无关的且张成 \(V^{*}\) ，即 \(\mathcal{B}^{*}\) 是 \(V^{*}\) 的一组基。

对偶基的唯一性与存在性证明：
对于每个 \(i = 1, 2, \cdots, n\) ，定义映射 \(e^{i}: V \to \mathbb{F}\) 。
因为 \(\mathcal{B} = \{e_1, \cdots, e_n\}\) 是 \(V\) 的基，则

\[\forall \mathbf{v} \in V, \exists x_1, \cdots, x_n, \quad \mathbf{v} = \sum_{i = 1}^{n} x_i \mathbf{e}_i \]

因为 \(e^{i}\) 是线性的，则

\[e^{i}(v) = \sum_{i = j}^{n} x_j e^{i}(\mathbf{e}_j) = \sum_{i = j}^{n} x_j \delta^{i}_{j} = x_i \]

于是 \(e^{i}\) 唯一。

接下来只需验证 \(e^{i}\) 是线性泛函。

设 \(\mathbf{v} = \sum_{i} x_i e_i, \mathbf{w} = \sum_{i} y_i e_i, \alpha, \beta \in \mathbb{F}\) ，则

\[\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} = \sum_{i} (\alpha x_i + \beta y_i) e_i \]

于是

\[e^{i}(\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w}) = \alpha x_i + \beta y_i = \alpha e^{i}(\mathbf{v}) + \beta e^{i}(\mathbf{w}) \]

于是 \(e^{i} \in V^{*}\) ，故 \(e^{i}\) 是线性泛函。
\(\square\)

双重对偶

转置映射（对偶映射）

矩阵表示

零化子（Annihilator）

双线性形式与内积（引入配对）