2025.07.25 答疑工作

二叉排序树（二叉搜索树）

首先显然是二叉树，就是每个节点最多有两个儿子。

性质，有序性：

• 每个节点的值之间都是严格可比的
• 对任意节点，其左子树的所有节点 < 该节点的值，其右子树的所有节点 > 该节点的值。（实际上我们可以重定义偏序，考试的时候还是按左边那样写，那是一种约定俗称的默认情况。多解释了反而老师可能不懂。）

核心操作

• 搜索：从 root 开始。
  • root 是空节点，不存在。
  • 否则比较当前节点值与目标值
    • 相同，找到。
    • 目标值更小，进入左子树。更新子树 root 。
    • 目标值更大，进入右子树。更新子树 root 。
• 插入：
  • 从 root 开始。
  • root 是空节点，插入。
  • 否则比较当前节点值与目标值
    • 相同，找到。
    • 目标值更小，进入左子树。更新子树 root 。
    • 目标值更大，进入右子树。更新子树 root 。
• 删除：
  • 叶子节点。直接删除。
  • 非叶子节点。用左子树的最大值或右子树的最小值替代，并递归删除替代节点。
    • 解释 1 。左子树的最大值显然大于左子树的其他值，且依旧小于右子树的任意值。右子树的最小值显然依旧大于左子树的任意值，其小于右子树的其他值。
    • 解释 2 。递归删除。dfs(u, x) 时，如果 u 满足条件，我们要用 u 替代 v ，此时 u 又要被的删除，于是成了一个子问题，继续向下递归。

每个操作的最坏复杂度，显然是 \(O(n)\) ，比如严格左斜树或严格右斜树（注意是斜不是偏）。平均复杂度，\(O(\log n)\) ，不太会证。

平衡二叉树（特殊的二叉搜索树）

性质

• 二叉搜索树的所有性质
• 平衡性。对于平衡树的任一节点，左子树高度减去右子树高度的绝对值小于等于 \(1\) 。
  • 平衡性有什么用？显然平衡性可以让二叉搜索树的查找、插入、删除操作最坏是 \(O(\log n)\) 。（除了最后一层，都是满的，但注意不是完全二叉树，我们分析复杂度的时候可以近似当作满二叉树去分析）
  • 怎么做到？动态调整树的结构。比如旋转。

接下来是平衡树大杂烩的原理+源码链接，应该有红黑树（工程上常用），AVL 树（经典），Treap，Splay Tree（两个竞赛中常用）。先鸽一会儿……最近要学的南大 OS 和启元算法训练营更重要……

格雷编码

昨天稍微学了下哈夫曼编码，现在学学格雷编码……

P11376 [GESP202412 六级] 运送物资