一个有意思的悖论：生日悖论

生日悖论

建模

假设一年有 \(N\) 天，简化掉润年。

假设有 \(K \ (K \leq N)\) 个人，他们的生日是随机分布的。

设 \(\mathcal{P}(K)\) 是 \(K\) 个人中，没有人生日相同的概率。

这是一个有限概率问题，可以转化为组合方案数：

样本空间：\(K\) 个人都有 \(N\) 种可能的生日，那么方案数是 $ \underbrace{N \times N \times \cdots \times N}_{\text{K's times}} = N^{K}$ 。

\(K\) 个人，在 \(N\) 天中，不存在生日碰撞的方案：\(K\) 个球放进 \(N\) 个盒子且每个盒子最多一个球的方案，即 \(N\) 的 \(K\) 排列 \(P_{N}^{K} = \prod_{i = 0}^{K-1} N - i\)。

于是为：

\[\mathcal{P}(K) = \frac{没有生日碰撞的总方案}{样本空间大小} = \frac{\prod_{i = 0}^{K-1} N - i}{N^{K}} = \frac{\prod_{i = 0}^{K-1} N - i}{\prod_{i = 0}^{K-1} N} = \prod_{i = 0}^{K-1} \frac{N - i}{N} \]

使用一个经典放缩式：

\[1 + x \leq e^{x} = exp(x) \]

（\(exp(x)\) 是 \(e^{x}\) 的另一种写法）
有

\[\begin{aligned} \mathcal{P}(K) &= \prod_{i = 0}^{K-1} \frac{N - i}{N} \\ &= \prod_{i = 0}^{K-1} 1 + \frac{- i}{N} \\ &\leq \prod_{i = 0}^{K-1} exp(\frac{- i}{N}) \\ &= exp(\sum_{i = 0}^{K-1} \frac{- i}{N}) \\ &= exp(- \frac{\sum_{i = 0}^{K} i}{N}) \\ &= exp(- \frac{\binom{K}{2}}{N}) \\ &= exp(- \frac{(K - 1)K}{2 N}) \\ \end{aligned} \]

存在两个人（\(\geq 2\)）生日相同的概率为：

\[\overline{\mathcal{P}}(K) = 1 - \mathcal{P}(K) = 1 - \prod_{i = 0}^{K-1} \frac{N - i}{N} = 1 - exp(- \frac{(K - 1)K}{2 N}) = O(1 - exp(K^2 / N)) \]

重要结论：
这里我们算数量级，若 \(K = O(\sqrt{N})\) ，则 \(O(1 - exp(K^2 / N)) = O(1 - exp(1)) = O(1)\) ，这基本说明了“小球数量达到盒子数量的根号级”，则存在小球碰撞的概率接近 1 。

性质

令

\[F(K) = exp(- \frac{(K - 1)K}{2 N}) = e^{- \frac{(K - 1)K}{2 N}} \]

由

\[F(K)^{'} = \frac{\Delta F(K)}{\Delta K} = \frac{\Delta exp(- \frac{(K - 1)K}{2 N})}{\Delta x} = -exp(- \frac{(K - 1)K}{2 N}) \]

恒为负数。
于是 \(F(K)\) 是单调递减函数。

例子

设 \(N = 365\) 。

由 \(F(24) > \frac{1}{2} > F(23)\) ，则 \(\mathcal{P}(26) \leq F(23) < \frac{1}{2}\) ，有 \(\overline{\mathcal{P}}(23) = 1 - \mathcal{P}(23) > \frac{1}{2}\) 。

于是得到了生日悖论的基础形式：不考虑 \(2\) 月 \(29\) 日的情况下，随机 \(23\) 个人中，生日同一天的概率大于 \(50 \%\) 。

更进一步地，由 \(F(57) > \frac{99}{100} > F(56)\) ，则 \(\mathcal{P}(56) \leq F(56) < \frac{99}{100}\) ，有 \(\overline{\mathcal{P}}(56) = 1 - \mathcal{P}(56) > \frac{99}{100}\) 。
可以得到了生日悖论的扩展形式：不考虑 \(2\) 月 \(29\) 日的情况下，随机 \(56\) 个人中，存在两个人生日是同一天的概率大于 \(99 \%\) 。
另一个断言（伪的断言）是：一个 \(\geq 56\) 人的普通教学班中，一定存在两个人的生日是同一天。

最后是实用性的技巧
\(P\) 个位置中给 \(n\) 个位置随机，不存在冲突的概率为：

\[e^{- \frac{n(n - 1)}{P}} \]

这个性质在算法问题中非常实用。