AtCoder Beginner Contest 043

A

\(\sum_{i = 1}^{n} i = \binom{n + 1}{2}\) 。

B

题意：
输入一个字符串。从左到右若有一个 \(B\) ，则 \(B\) 会把自己和右边一个字符（可能是空字符）删除。
询问最终字符。

题解：

栈。

std::string s; std::cin >> s;
std::string ans = "";
for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
    if (s[i] == 'B') {
        if (ans.size() != 0) ans.pop_back();
    }
    else {
        ans.push_back(s[i]);
    }
}
std::cout << ans << "\n";

C
题意：

给定 \(n\) 个数 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) 。找到 \(x\) 使得所有 \(a_i\) 变为 \(x\) 花费代价最少。\(a_i\) 变为 \(x\) 花费代价为 \((a_i - x)^2\) 。

\(-100 \leq a_i \leq 100\) 。

题解：

找到最大最小的 \(a_i\) 为 \(MX, MI\) ，容易证明 \(x > MX, x < MI\) 显然不是最优解。
证明：

1. 若 \(x > MX\) ，显然 \(x^{'} = MX\) 比 \(x\) 优。
2. 若 \(x < MI\) ，显然 \(x^{'} = MI\) 比 \(x\) 优。

\(\square\)

暴力思路是枚举 \([MI, MX]\) 。

假设 \(a_i \in [-10^{9}, 10^{9}]\) 。应该使用什么算法？

\(\sum_{i = 1}^{n} (a_i - x)^{2} = Ax^{2} + Bx + C\) 是极其显然的一元二次函数，要么单峰要么单谷。

可以深入证明，但很容易通过特列反证是个单谷函数。

于是三分即可。

不容易列出多项式时。一种单谷函数的证明反向为：只需证明实数定义域内答案的唯一性。

这时候一种角度是：存在性显然，进而可以假设答案大于等于两个从而反证。一般会选取最左和最右的答案。

另一种角度是：某个答案两侧严格单调。

无法轻易证明时，但直觉上答案唯一时可以尝试三分，用评测机证明。

D
题意：

给定一个字符串 \(s\) 。定义它是不平衡的当且仅当 \(s\) 的长度不少于 \(2\) ，且某个字符出现次数 \(cnt\) 满足 \(cnt > \frac{len}{2}\) 。

这个转化即 \(cnt \geq \lfloor \frac{len}{2} \rfloor + 1\) 。

现在给一个字符串 \(s\) ，输出它任意一个子串的首尾位置。（从 \(1\) 开始编号）

\(1 \leq |s| \leq 10^{5}\) 。

题解：

如果一个字符串 \(s\) 是 \(unbalance\) 的，不妨定义出现次数 \(cnt \geq \lfloor \frac{len}{2} \rfloor + 1\) 的字符是 \(c\) ，不妨称 \(s\) 是 \(c\_unbalance\) 的。

则从 \(s\) 的端点处去除两个字符，依旧会是 \(c\_unbalance\) 的。显然 \(c\) 最多被去除两个，长度严格会减少二。若 \(cnt \geq \lfloor \frac{len}{2} \rfloor + 1\) ，一定有 \(cnt - 1 \geq \lfloor \frac{len}{2} \rfloor\) 。

已知 \(s\) 的字符串长度至少为 \(2\) ，则若存在 \(s\) ，一定存在一个 \(len = 2\ or\ 3\) 的 \(unbalance\) 串。

由于只需找任意一个答案，这时候问题已经显然，暴力去找长度为 \(2, 3\) 的串即可。

std::string s; std::cin >> s;
for (int i = 0; i < (int)s.size() - 2 + 1; i++) {
    std::string tmp = s.substr(i, 2);
    if (tmp[0] == tmp[1]) {
        std::cout << i + 1 << " " << i + 2 << "\n";
        return;
    }
}
for (int i = 0; i < (int)s.size() - 3 + 1; i++) {
    std::string tmp = s.substr(i, 3);
    std::set<char> px; px.insert(tmp[0]); px.insert(tmp[1]); px.insert(tmp[2]);
    if (px.size() <= 2) {
        std::cout << i + 1 << " " << i + 3 << "\n";
        return;
    }
}
std::cout << -1 << " " << -1 << "\n";

长度为 \(2\) 时候 \(cnt \geq \lfloor \frac{2}{1} \rfloor + 1\) 的 \(cnt = 2\) 。
长度为 \(3\) 时候 \(cnt \geq 2\) 。这里是容斥出现种类，如果出现种类 \(\leq 2\) ，一定至少有两个字符相等。