连续系统离散化

一、离散系统基本概念

离散和连续的区别：信号在全部时间上是否已知

脉冲形式	数字序列形式
采样控制系统，脉冲控制系统	数字控制系统，计算机控制系统
炉温控制系统（大惯性环节，燃料进来以后要很久才可以起作用），相较于连续控制，由于输出序列也具有离散，可以避免超调的情况存在	包含离散状态下的数字计算机和连续状态下的被控对象，使用AD DA和复现且信号的幅值和时间均为离散

对于离散信号和连续信号使用采样和保持器转换，其中最简单的复现滤波器使用保持器实现，对于采样，根据位置不同分为1,开环采样系统2,闭环采样系统；最多的是误差采样控制的闭环采样系统

保持器	采样器

对于数字控制，使用AD DA，其中AD每隔\(T\)秒对连续信号\(e(t)\)采样得到离散信号\(e^* (t)\)并量化（编码）为数字信号\(\hat{e}^*(t)\)

AD	DA

二 、采样和保持

2.1采样

2.1.1采样的数学方程

对于具有有限脉冲宽度的采样系统而言，每隔T秒闭合一次，闭合时间为\(\tau\)，由于闭合时间远小于采样周期，所以使用理想采样器替代。

\[e^*(t) =e(t)\sigma_T (t)=\sum_{n=0}^{\infty} e(T)\,\delta(t - nT)=\sum_{n=0}^{\infty} e(nT)\,\delta(t - nT) \]

其中\(\delta(t - nT)\)是T时刻出现的强度为1的脉冲，\(e(nT)\)是由于，仅在T时刻这个值才有意义
对这个式子进行拉氏变换，其中前项当作常数看待，后一项通过位移定理变化后：

\[E^* (s)=ℒ[e^* (t)]=ℒ[\sum_{n=0}^{\infty} e(nT)\,\delta(t - nT)]=\sum_{n=0}^{\infty} e(nT)\,e^{-nTs} \]

通过该式子可以得出离散系统的有理函数，但是比较难分析，所以通常采用z变换分析。

2.1.2采样周期选择

对于上述式子得出的可以进行傅里叶变化。傅里叶变化：一个周期函数满足（周期内有限个不连续点，有限个最大最小，在-T/2到T/2有积分存在）可以展开为傅氏级数(时域)：

\[f(t) = \cfrac{1}{2}a_o + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos \ n\ wt+b_n \ sin\ n\ wt) \]

其中

\[a_n=\cfrac{2}{T}\int_{T/2}^{-T/2} f(t)\ cos\ n\ w\ t \ \mathrm{d}t\ \ \ \ \ n=0,1,2,3 ,\cdots \]

\[b_n=\cfrac{2}{T}\int_{T/2}^{-T/2} f(t)\ sin\ n\ w\ t \ \mathrm{d}t\ \ \ \ \ n=1,2,3 ,\cdots \]

\(w=2π/T\)称为角频率
傅氏级数(指数形式)：

\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n \ e^{jwt} \]

其中

\[a_n=\cfrac{1}{T}\int_{T/2}^{-T/2} f(t) e^{-jnwt} \mathrm{d}t \]

对于上述提到的理想单位脉冲序列，可以得到\(a_n=\cfrac{1}{T}\)将$\sigma_T (t) $

\[\sigma_T (t) =\cfrac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{jw_{s}t} \]

代入

\[e^*(t) =e(t)\sigma_T (t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e(t) e^{jw_{s}t} \]

对这个进行拉氏变化可得出：

\[E^*(s) = \cfrac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} E(s+j\ n\ w_s ) \]

当没有右半平面零点可得采样信号\(e^* (t)\)傅里叶变化：

\[E^*(jw) = \cfrac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} E(j\ w+j\ n\ w_s ) \]

其中E(jw)为连续信号\(e(t)\)的傅里叶变化

2.1.3举个例子：

对于连续信号，频谱为单一的连续频谱\( x(t) = cos(2π*f1*t) + 0.5*cos(2π*f2*t) \)其中\(f1=10hz,f2=30hz\)在matlab中构造这个函数，使用2KHZ的频率模拟该信号

点击查看代码

% 连续信号：x(t) = cos(2π*f1*t) + 0.5*cos(2π*f2*t)
f1 = 10;       % 第一个频率分量 10 Hz
f2 = 30;       % 第二个频率分量 30 Hz
f_max = f2;    % 信号最高频率 30 Hz

% 用极高采样率近似"连续"信号
fs_cont = 2000;    % 近似连续的采样率 2000 Hz
T_cont = 1/fs_cont;
t_cont = 0:T_cont:2 - T_cont;   % 2 秒时长（t_cont为1*4000的数列，因为是2khz*2）

x_cont = cos(2*pi*f1*t_cont) + 0.5*cos(2*pi*f2*t_cont);%(最终结果为1*4000)

得到这个信号以后可以使用matlab中信号分析仪，对于频谱图，横轴为归一化频率可参考（ https://www.cnblogs.com/Baiyug/p/16404627.html ）， 其中实际频率为\(f_{\text{Hz}} = k \times \frac{f_s}{2}\)

对于该函数其中可以看到含量最高的是10HZ 30HZ，纵轴为功率倍，这里选取线性单位，由于两个信号的幅值差两倍，所以这个一个是0.45一个是0.11

但是要想得到清晰的谐波分量较难，很难保证采集到完整的周期，下表简单做个对比

	完整周期	非完整周期
原波形
矩形窗
平顶窗
汉宁窗

关于为什么加窗与加窗的作用可参考
https://blog.csdn.net/u012308586/article/details/118766767
以上是与采样周期是否完整有关，对于采样周期的选择，通过信号的频率与采样的频率有关，为了防止信号混叠，

	80HZ	50HZ
单位脉冲序列
采样波形
频域图

可以看到，单位脉冲序列在频谱图中为采样角频率\(w_s\)为周期的脉冲，与原有的单一连续频谱叠加可以得到最终的频域图，得到采样角频率\(w_s < 2 w_h\)时会发生混叠现象，使得采样信号不准无法恢复。但是采样频率不可以盲目增大，考虑现实算力，对于开环系统截至频率\(w_c\)，当频率高于\(w_c\)时会快速衰减，所以随动系统采样角频率可近似为\(w_s =10 w_c\)

2.2保持

对于输出一般有两种方式 数字输出，将数列以二进制的形式反馈给寄存器。第二种则是将数字信号转化为连续信号，这个步骤使用保持器实现。保持器主要实现采样点之间的插值问题
数学描述对于\(e(nT)=e((n+1)T)\)之间的值\(e(nT+△t)\ \ \ 0<△t<T\)
对于这个中间值，有以下表达式：

\[e(nT+△t)=a_0 +a_1△t+a_2{(△t)}^2 +\cdots +a_m {(△t)}^m \]

一般使用零阶保持器，即\(e(nT+△t)=e(nT)\ \ \ 0<=△t<T\)零阶保持器可以i看作两个阶跃函数的和，通过移位定理与拉氏变换得到零阶保持器传递函数

\[G_h(jw)=\frac{2 pi}{w_s} \frac{sin \ π (w/w_s)}{π \ w/w_s}e^{-j\ π(w/w_s)} \]

通过查看bode图可得

1：零阶保持器本质为地同滤波器，不仅允许主要频谱分量，还有其他谐波，导致数字控制输出存在纹波
2：存在相角滞后，，导致闭环系统稳定性变差
3：输出为阶梯信号，平均响应在输出上比输入增加一个T/2的滞后，并且阶梯的输出也导致了纹波
一阶保持器复现准确度会更高，但是会有纹波更大，相角滞后更多，一般采用零阶保持器，使用寄存器实现。

三、Z变换

Z变换可以理解为"离散世界的拉氏变换"：拉氏变换是分析连续系统的基础，Z变换则是分析离散系统的基础。

3.1 Z变换的定义

对于一个采样信号，其拉氏变换为：

\[E^*(s)=\mathcal{L}[e^*(t)]=\mathcal{L}\left[\sum_{n=0}^{\infty} e(nT)\,\delta(t-nT)\right]=\sum_{n=0}^{\infty} e(nT)\,e^{-nsT} \]

Z变换与拉氏变换形式上非常相似：只需在采样信号的拉氏变换中令 \(z=e^{sT}\)，把 \(e^{-nsT}\) 替换为 \(z^{-n}\)，即得到 Z 变换：

\[E(z)=\sum_{n=0}^{\infty} e(nT)\,z^{-n} \]

记为 \(E(z)=\mathcal{Z}[e^*(t)]\)，称为采样信号 \(e^*(t)\) 的 Z 变换。几点说明：

• 本质：Z变换就是在采样拉氏变换 \(E^*(s)\) 中取 \(z=e^{sT}\) 的结果，其中 \(T\) 为采样周期；
• Z变换只描述采样时刻 \(t=nT\) 上的信号值，采样点之间的信息在采样过程中已经丢失；
• 由于 \(E(z)\) 仅由采样序列 \(e(nT)\) 决定，也常记为 \(E(z)=\mathcal{Z}[e(nT)]\)。

3.2 常用信号的Z变换

连续信号 \(e(t)\)	采样序列 \(e(nT)\)	Z变换 \(E(z)\)
\(\delta(t)\) 单位脉冲	\(n=0\) 时为 \(1\)，其余为 \(0\)	\(1\)
\(1(t)\) 单位阶跃	\(1\)	\(\dfrac{z}{z-1}\)
\(t\) 单位斜坡	\(nT\)	\(\dfrac{Tz}{(z-1)^2}\)
\(e^{-at}\)	\(e^{-anT}\)	\(\dfrac{z}{z-e^{-aT}}\)
\(\sin\omega t\)	\(\sin n\omega T\)	\(\dfrac{z\sin\omega T}{z^2-2z\cos\omega T+1}\)
\(\cos\omega t\)	\(\cos n\omega T\)	\(\dfrac{z(z-\cos\omega T)}{z^2-2z\cos\omega T+1}\)

这些变换对均可由定义式直接对等比级数求和得到。以单位阶跃为例：

\[E(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}=\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1} \]

后面做反变换时，只需对照此表即可，无需每次从头求和。

3.3 Z变换的性质

性质	时域	Z域
线性	\(ae_1(nT)+be_2(nT)\)	\(aE_1(z)+bE_2(z)\)
延迟（右移）	\(e(nT-mT)\)	\(z^{-m}E(z)\)
超前（左移）	\(e(nT+mT)\)	\(z^{m}\left[E(z)-\sum_{k=0}^{m-1}e(kT)z^{-k}\right]\)
复位移	\(e^{-anT}e(nT)\)	\(E(ze^{aT})\)
尺度变换	\(a^{n}e(nT)\)	\(E(z/a)\)
卷积定理	\(e_1(nT)*e_2(nT)\)	\(E_1(z)E_2(z)\)
初值定理	—	\(e(0)=\lim\limits_{z\to\infty}E(z)\)
终值定理	—	\(\lim\limits_{n\to\infty}e(nT)=\lim\limits_{z\to 1}(1-z^{-1})E(z)\)

其中最常用的是延迟定理：串联一个 \(z^{-1}\) 就相当于延时一个采样周期，\(z^{-1}\) 在离散系统框图中就是单位延迟器，这也正是差分方程中 \(e(k-1)\) 项的来源。

3.4 Z反变换

由 \(E(z)\) 求采样序列 \(e(nT)\) 称为 Z 反变换，常用方法有三种。

方法一：长除法
将 \(E(z)\) 按 \(z^{-1}\) 的升幂展开，\(z^{-n}\) 项的系数就是 \(e(nT)\)。便于编程，但只能求前几项。

方法二：部分分式展开法
先对 \(E(z)/z\) 展开，再乘以 \(z\)（因为常用变换对分子都有 \(z\)），查表即可得到 \(e(nT)\)。

方法三：留数法

\[e(nT)=\sum_{i}\operatorname{Res}\left[E(z)z^{n-1}\right]_{z=p_i} \]

其中 \(p_i\) 为 \(E(z)\) 的极点。留数法可直接写出通项表达式。工程中查表结合部分分式展开最为常用。

3.5 Z变换的性质

1、非唯一性：对连续信号进行采样，得到的 Z 变换可能是多个。所以Z变换和Z反变换不是唯一对应的。

2、收敛区间：
拉普拉斯变换：Re(s) > σ₀（收敛轴右侧）

\[E(s)=\int_0^{+\infty} e(t)e^{-st}dt \]

令 s = σ + jω，要使积分收敛，需：

\[\int_0^{+\infty}|e(t)e^{-st}|dt = \int_0^{+\infty}|e(t)|e^{-\sigma t}dt < \infty \]

设 \(|e(t)| \leq Me^{\alpha t}\)（信号增长指数），则：

\[\int_0^{+\infty}|e(t)|e^{-\sigma t}dt \leq M\int_0^{+\infty}e^{(\alpha-\sigma)t}dt \]

该积分收敛的条件是 σ > α，即 Re(s) > σ₀，其中 σ₀ = α
Z变换：|z| > 1（单位圆外部）Z变换本质是幂级数：

\[E(z)=\sum_{n=0}^{\infty} e(nT)z^{-n} \]

将\(z^{-n}=e^{-nT}\)代入，得到：

\[E(z)=\sum_{n=0}^{\infty} e(nT)r^{-n} e^{-jwnT},r=e^{σT} \]

要让他收敛，参考拉氏变换的收敛条件，即：

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| e(nT)r^{-n} \right|<\infty \]

通过变换后将\(E(z)\)变换为分式的形式，通过零极点分析，即可判断收敛区间。

四、离散系统数学模型

4.1 定义

将输入序列变换为输出序列，称为离散系统数学模型。

\[c(n)=F[r(n)]--线性系统模型 \]

其中 \(F\) 为系统函数，\(r(n)=r(nT)\) 为输入序列，\(c(n)=c(nT)\) 为输出序列。本章研究的为线性定常离散系统。

对于离散系统，将s域的微分方程转换为z域的差分方程，核心就是找到一个方法来替换，映射规则不同导致精度不同。

1. 前向差分
首先给出前向差分的定义：

\[\frac{dx}{dt} \approx \frac{x(n+1) - x(n)}{T} \]

（这个式子里代表序列，是已经采样好的序列，这里考虑零初始条件）
右边通过z变换的移位定理

\[\mathcal{Z}[x(n+1)]=zX(z)-zx(0)=zX(z) \]

对这个式子左边做拉氏变换，右边做Z变换得到：

\[sX(s) \approx \frac{z-1}{T}X(z) \]

这两个算子表示的意思都差不多，可以直接约去。
所以前向差分使用\((s = \frac{z-1}{T})\)。

2. 后向差分

\[\frac{dx}{dt} \approx \frac{x(n) - x(n-1)}{T} \]

后向差分使用\((s = \frac{z-1}{Tz})\)。

3. 双线性变换（Tustin法）
用梯形积分近似（前向 + 后向取平均），得到：

\[z = e^{sT} = \frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}} \approx \frac{1 + sT/2}{1 - sT/2} \]

分子分母进行一阶泰勒线性展开，故得名双线性变换。
梯形积分公式：

\[\int_0^t x(\tau)d\tau \approx \frac{T}{2}[x(k)+x(k-1)] \]

4. 中心差分

\[\frac{dx}{dt} \approx \frac{x(k+1) - x(k-1)}{2T} \]

5. 脉冲响应不变
对\(G(s)\)，展开后逐项进行Z变换，离散脉冲响应=连续脉冲响应采样。
适合低通、带通滤波器设计，不适合高通 / 带阻滤波器设计。

6. 阶跃响应不变

\[G(z) = (1-z^{-1})\,\mathcal{Z}\left\{\frac{G(s)}{s}\right\} \]

分析的时候

\[G(z) \dfrac{z}{z-1}= \mathcal{Z}\left\{Y(t)\right\} =\mathcal{Z}\left\{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{G(s)}{s} \right\} \right\} \]

对于一个系统在S域受到阶跃输入以后，对输出进行拉氏变换，得到的就是Z域的阶跃乘Z域的G(z)

但是一般都是用双线性变换

4.2 脉冲传递函数

系统初始条件为零，脉冲响应为系统传递函数。

\[G(z) = \frac{C(z)}{R(z)} \]

开环系统离散结构图如下：

脉冲传递函数意义：
脉冲传递函数的输入序列如下：

\[r(nT) = δ(nT) = \begin{cases}1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0\end{cases} \]

系统输出为单位脉冲响应序列：

\[c(nT) = K(nT) \]

将该输入单位脉冲序列沿时间轴延后K个采样周期，输出脉冲序列也延后K个采样周期变为\(K[(n-k)T]\)，\(K(nT),K[(n-k)T]叫做加权序列，**"加权"的含义**：对连续信号 x(t)\) 采样时，每个采样时刻的幅值等于原信号在该时刻的值乘以脉冲序列，相当于给连续信号"加权"得到离散序列。
那么系统传递函数 \(G(z)\) 就是该加权序列\(K(nT)\)的 Z 变换，在求的时候可以将S域的\(G(s)\)转换为Z域的\(G(z)\)。

\[G(z) = \frac{C(z)}{R(z)}=\mathcal{Z}[G(s)] \]

4.3 传递函数

1、开环系统脉冲传递函数具有周期性，即\(G^* (s)=G^* (s+jkw_s)\)其中\(w_s=2\pi/T\)是系统自然频率，\(k\)是整数。
2、若采样函数的拉氏变换\(E^* (S)\) 与连续函数的拉氏变化 \(G(S)\)相乘后再离散，\([G(S)E^* (S)]^*=G^* (S)E^* (S)\)
3、两个串联环节有离散开关的时候\(G_{all}(z)=G_1 (Z)+G_2 (Z)\)离散后相乘
4、两个串联环节没有离散开关的时候\(G_{all}(z)=G_1 G_2 (Z)\)，先相乘后离散
5、对于零阶保持器可以做等效变换

可以得到

\[G(z)=(1-z^{-1}) \mathcal{Z}[\frac{G_0 (s)}{s}] \]

6、零阶保持器和采样不影响脉冲传递函数极点仅仅影响零点
7、根据采样的离散信号和连续信号这些就可以得到闭环离散传递函数

变换Z局限性
1、在采样时间很小，采样持续时间和系统时间常数相比很小时成立
2、仅仅代表采样瞬时的数值，不代表间隔的信息
3、系统连续部分传递函数极点要比其他零点多两个（不懂）

4.4 稳定性与稳态误差

对于S域与Z域的映射，由 \(z=e^{sT}\)，令 \(s=\sigma+j\omega\)，则

\[|z|=e^{\sigma T},\qquad \angle z=\omega T \]

于是 s 平面与 z 平面之间存在如下映射：

s 平面	z 平面
左半平面（σ<0）	单位圆内部（|z|<1）
虚轴（σ=0）	单位圆（|z|=1）
右半平面（σ>0）	单位圆外部（|z|>1）

需要特别注意的是：\(z=e^{sT}\) 是周期映射，s 平面上宽度为 \(\omega_s=2\pi/T\) 的水平条带都会映射到整个 z 平面，即 s 域到 z 域是多对一的。这正是上一章离散化中提到频率混叠的根源。而这张映射表也直接给出了下一章判断离散系统稳定性的依据——离散系统稳定的充要条件是全部极点位于 z 平面单位圆内。

稳定判据和稳态误差考虑连续LTI系统的参考__自动控制原理342——351页

4.5 离散系统数字矫正

4.5.1 最少拍系统设计

一个采样周期为一拍，最少拍系统值在典型输入作用下，以有限拍结束响应过程，且在采样上无稳态误差

暂定，等用到再写