LTI状态空间方程的解

LTI状态空间方程的解

线性时不变的状态空间表达式如下：
\begin{array}{c}
\frac{\mathrm{d} x_{(t)}}{\mathrm{d} t}=A x_{(t)}+B u_{(t)}\\
y_{(t)}=C x_{(t)}+D u_{(t)}
\end{array}

对于线性时不变系统，其状态变量为\(n\)维列向量，\(Y\)为\(m\)维列向量，\(u(t)\)为系统输入\(p\)维列向量
主要分析状态变量\(x_{(t)}\)(\(n*1\)维列向量)的解，选取多维向量\(\begin{bmatrix} x_{1_{(t)}}& x_{2_{(t)}}&x_{3_{(t)}}& \cdots &x_{n_{(t)}} \end{bmatrix}^T \)
构造方程（在不考虑系统输入的情况下）：

\[\begin{aligned} \frac{ \mathrm{d} x_{{(t)}} }{ \mathrm{d} t } & = A x_{(t)} \end{aligned} \]

该方程的解为（根据微分方程性质推导出该解）$$\begin{aligned}
x_{(t)} =e^{At} x_{(t_0)}
\end{aligned}$$其中\(x_{t_0}\)为初始状态（大小为\(n*1\)），由于矩阵的运算行列要求，所以\(e^{At}\)放后面。其中\(e^{At}\)为矩阵指数函数，为\(n*n\)的矩阵且满足

\[\begin{aligned} \frac{ \mathrm{d} e^{At} }{ \mathrm{d} t } & = A e^{At} \end{aligned} \]

要求出状态解，需要得到\(e^{At}\)的值，其中\(e^{At}\)可以使用泰勒展开

\[\begin{aligned} {e^{At}} = I +A+\cfrac{1}{2!} {At}^2 +\cfrac{1}{3!} {At}^3+ & \cdots & \end{aligned} \]

其中A的对角矩阵\(D=\begin{bmatrix} λ_1 & \cdots &0\\ \vdots & \ddots&\vdots\\ 0&\cdots &λ_n \end{bmatrix} \) 过渡矩阵\(P=\begin{bmatrix} v_{1_{(t)}}& v_{2_{(t)}}&v_{3_{(t)}}& \cdots &v_{n_{(t)}} \end{bmatrix}\)
通过变换\(A =PDP^{-1}\)可得出\(A^{n}=PD^{n}P^{-1}\)
代入之前泰勒展开的式子可以得到

\[ {e^{At}} = Pe^{Dt}P^{-1} (用于求解状态空间方程) \]

对于状态空间方程

\[\frac{\mathrm{d} x_{(t)}}{\mathrm{d} t}=A x_{(t)}+B u_{(t)} \]

通过变换得出他的解

\[x_{(t)} = e^{A(t-t_0)} x_{(t_0)} + e^{At} \int_{t_0}^{t} e^{-A\tau} B u_{(\tau)} \, \mathrm{d}\tau \]

第一部分为零输入响应，第二部分为零状态响应
从\(t_0\)开始积分，对于时变系统可以更好的分析，其中$ e^{A(t-t_0)} $和系统的初始条件有关
第二部分积分部分代表LTI系统状态和输入之间的关系（卷积）

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这个解析解是对于lti系统而言，对于时变系统可以使用数值解

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方面	零输入响应（输入 = 0）	零状态响应（初始状态 = 0）
反映什么	系统本身的固有特性	系统对外部输入的处理能力
由什么决定	系统的特征根（极点）、初始状态	系统的传递函数、输入信号
物理意义	系统储存的能量如何自由释放	外界激励如何通过系统产生输出
研究目的	分析系统的稳定性、自然振荡	分析系统的跟踪能力、响应速度